Operaciones con sucesos e Intervalo de confianza para la proporción

**a) (0.75 puntos) Exprese, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos: 1. Que no ocurra ninguno de los dos. 2. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra $B$, pero que no ocurra $A$.** Vamos a traducir el lenguaje natural a lenguaje algebraico de sucesos utilizando la unión ($\cup$), intersección ($\cap$) y el complementario ($\overline{A}$): 1. **Que no ocurra ninguno de los dos**: Significa que no ocurre $A$ Y tampoco ocurre $B$. $$\overline{A} \cap \overline{B} \quad \text{o también (por Leyes de De Morgan)} \quad \overline{A \cup B}$$ 2. **Que ocurra al menos uno de los dos**: Es la definición de la unión. Ocurre $A$, o ocurre $B$, o ambos. $$A \cup B$$ 3. **Que ocurra $B$, pero que no ocurra $A$**: Es la diferencia de sucesos. Ocurre $B$ Y ocurre el complementario de $A$. $$B \cap \overline{A} \quad \text{o también} \quad B - A$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las Leyes de De Morgan son muy útiles: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ y $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.

**b) (1.25 puntos) Sabiendo que $P(A) = 0.5, P(B) = 0.5$ y $P(A/B) = 0.3$, halle $P(A \cup B)$.** Para hallar $P(A \cup B)$ usamos la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ No conocemos $P(A \cap B)$, pero podemos obtenerla de la probabilidad condicionada $P(A/B)$: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \implies P(A \cap B) = P(A/B) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cap B) = 0.3 \cdot 0.5 = 0.15$$ Ahora calculamos la unión: $$P(A \cup B) = 0.5 + 0.5 - 0.15 = 0.85$$ 💡 **Tip:** Siempre que te den una probabilidad condicionada, suele ser el camino para encontrar la intersección. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.85}$$

**Parte II: (2 puntos) Se ha aplicado un medicamento a una muestra de 200 enfermos y se ha observado una respuesta positiva en 140 de ellos. Estímese, mediante un intervalo de confianza del 99%, la proporción de enfermos que responderían positivamente.** Primero, identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Casos favorables: $x = 140$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{140}{200} = 0.7$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es nuestra mejor estimación puntual de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $99\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$ 2. Significación: $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ 3. Buscamos en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - \frac{\alpha}{2}$: $$1 - \frac{0.01}{2} = 1 - 0.005 = 0.995$$ Consultando la tabla de la distribución Normal: - Para $0.9949 \to z = 2.57$ - Para $0.9951 \to z = 2.58$ Tomamos el valor intermedio o el más aproximado: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ (90%), $1.96$ (95%) y $2.575$ (99%).

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{200}} = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{200}} = 2.575 \cdot \sqrt{0.00105}$$ $$E = 2.575 \cdot 0.0324037 \approx 0.0834$$ El intervalo de confianza se construye como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.7 - 0.0834, 0.7 + 0.0834)$$ $$IC = (0.6166, 0.7834)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{99\%} = (0.6166, 0.7834)}$$ Esto significa que, con un nivel de confianza del 99%, la proporción de enfermos en la población que respondería positivamente está entre el **61.66%** y el **78.34%**.