Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1.5 puntos) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que $A \cdot B = B \cdot A$.** En primer lugar, calculamos el producto $A \cdot B$. Para multiplicar matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot a + 2\cdot 6 & 0\cdot b + 2\cdot 1 \\ 3\cdot a + 0\cdot 6 & 3\cdot b + 0\cdot 1 \end{pmatrix}$$ Operando, obtenemos: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 12 & 2 \\ 3a & 3b \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general, por lo que el orden en que las multiplicamos es fundamental.

Ahora calculamos el producto $B \cdot A$ siguiendo el mismo procedimiento: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 0 + b\cdot 3 & a\cdot 2 + b\cdot 0 \\ 6\cdot 0 + 1\cdot 3 & 6\cdot 2 + 1\cdot 0 \end{pmatrix}$$ Operando, obtenemos: $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 3b & 2a \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$$

Para que $A \cdot B = B \cdot A$, los elementos correspondientes de ambas matrices deben ser iguales: $$\begin{pmatrix} 12 & 2 \\ 3a & 3b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b & 2a \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $12 = 3b \implies b = 4$ 2. $2 = 2a \implies a = 1$ 3. $3a = 3 \implies a = 1$ 4. $3b = 12 \implies b = 4$ Como las soluciones son coherentes en todas las posiciones, los valores buscados son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 4}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = 1$ y $b = 0$, resuelva la ecuación matricial $X \cdot B - A = I_2$.** Primero, despejamos la matriz incógnita $X$. $$X \cdot B - A = I_2 \implies X \cdot B = I_2 + A$$ Para aislar $X$, debemos multiplicar por la derecha por la inversa de $B$ ($B^{-1}$), siempre que esta exista: $$X \cdot B \cdot B^{-1} = (I_2 + A) \cdot B^{-1} \implies X = (I_2 + A) \cdot B^{-1}$$ 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, la posición importa. Como $B$ está a la derecha de $X$, su inversa $B^{-1}$ debe aparecer a la derecha de la suma $(I_2 + A)$.

Sustituimos $I_2$ y la matriz $A$ dada: $$I_2 + A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 0+2 \\ 0+3 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Para $a = 1$ y $b = 0$, la matriz es $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$. 1. Calculamos el determinante: $$|B| = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 6) = 1 - 0 = 1$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz $B$ es invertible. 2. Calculamos la matriz adjunta: $$Adj(B) = \begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Aplicamos la fórmula $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \cdot (Adj(B))^T$: $$(Adj(B))^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} \implies B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En matrices $2\times 2$, un truco rápido para la inversa es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de los de la diagonal secundaria y dividir por el determinante.

Finalmente, realizamos el producto final: $$X = (I_2 + A) \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2(-6) & 1\cdot 0 + 2\cdot 1 \\ 3\cdot 1 + 1(-6) & 3\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 12 & 2 \\ 3 - 6 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -11 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}$$