Dominio, derivabilidad y recta tangente de una función a trozos

**a) (0.5 puntos) Halle el dominio de $f$.** Para hallar el dominio de una función definida a trozos, debemos analizar el dominio de cada rama dentro de su intervalo de definición: 1. **Primera rama:** $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ para $x \lt 2$. Es una función racional. El único punto que no pertenece a su dominio es donde el denominador se anula: $$x - 1 = 0 \implies x = 1$$ Como $x = 1$ está en el intervalo de definición ($1 \lt 2$), debemos excluirlo del dominio. 2. **Segunda rama:** $f(x) = 2x^2 - 10x$ para $x \ge 2$. Es una función polinómica, las cuales están definidas para todo $\mathbb{R}$. Por tanto, en el intervalo $[2, +\infty)$ no presenta ningún problema. Concluimos que el dominio es todo el conjunto de los números reales excepto el punto $x=1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales menos los valores que hacen cero el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) (1.25 puntos) Estudie la derivabilidad de $f$ en $x = 2$.** Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar si la función es continua en ese punto, ya que si no es continua, automáticamente no será derivable. Para que $f$ sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - **Valor de la función:** $f(2) = 2(2)^2 - 10(2) = 8 - 20 = -12$ - **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{2x}{x-1} = \frac{2(2)}{2-1} = \frac{4}{1} = 4$$ - **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x^2 - 10x) = 2(2)^2 - 10(2) = -12$$ Como $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$, la función presenta un **salto finito** en $x=2$. 💡 **Tip:** Una función solo puede ser derivable en un punto si primero es continua en él. Si hay un "salto", no puede haber una tangente única.

Puesto que la función no es continua en $x=2$, podemos afirmar directamente que la función no es derivable en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ no es derivable en } x = 2 \text{ porque no es continua en dicho punto.}}$$

**c) (1.25 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** El punto $x=0$ pertenece a la primera rama de la función ($0 \lt 2$), por lo que trabajaremos con $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. 1. **Hallar la ordenada del punto:** $$y_0 = f(0) = \frac{2(0)}{0-1} = 0$$ El punto de tangencia es $(0, 0)$. 2. **Hallar la pendiente ($m = f'(0)$):** Derivamos la primera rama usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x)' \cdot (x-1) - (2x) \cdot (x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - 2x(1)}{(x-1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$$ Calculamos la pendiente en $x=0$: $$m = f'(0) = \frac{-2}{(0-1)^2} = \frac{-2}{1} = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Utilizamos la fórmula de la recta punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos los valores hallados ($x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $m = -2$): $$y - 0 = -2(x - 0)$$ $$y = -2x$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -2x}$$ Podemos ver la representación gráfica de la función y su tangente a continuación: