Probabilidad e Inferencia: Sucesos e Intervalos de Confianza

**Parte I a) (1 punto) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que $P(A)=0.5$, que $P(B)=0.4$ y que $P(A \cup B) = 0.8$, determine $P(A/B)$.** Para calcular la probabilidad condicionada $P(A/B)$, primero necesitamos conocer la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.8 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B)$$ $$0.8 = 0.9 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 0.9 - 0.8 = 0.1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la unión siempre relaciona la suma de las probabilidades individuales menos su intersección para no contar dos veces los elementos comunes.

Una vez hallada $P(A \cap B) = 0.1$, aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores: $$P(A/B) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(A/B) = 0.25}$$

**b) (1 punto) Sean $C$ y $D$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Sabiendo que $P(C) = 0.3$, que $P(D) = 0.8$ y que $C$ y $D$ son independientes, determine $P(C \cup D)$.** Como los sucesos $C$ y $D$ son **independientes**, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $$P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D) = 0.3 \cdot 0.8 = 0.24$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la unión: $$P(C \cup D) = P(C) + P(D) - P(C \cap D)$$ $$P(C \cup D) = 0.3 + 0.8 - 0.24 = 1.1 - 0.24 = 0.86$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, el hecho de que ocurra uno no influye en la probabilidad del otro, y esto se traduce matemáticamente en $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(C \cup D) = 0.86}$$

**Parte II a) (1 punto) Determine un intervalo de confianza para estimar $\mu$, a un nivel del 97 %, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8.1 días.** Identificamos los datos: - Distribución: $N(\mu, 3)$, por lo que $\sigma = 3$. - Muestra: $n = 100$, $\bar{x} = 8.1$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$. 2. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. 3. En la tabla de la Normal $N(0, 1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.985$ es **$z_{\alpha/2} = 2.17$**. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media se define como $\text{IC} = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es el margen de error.

Calculamos el error máximo admitido: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{3}{\sqrt{100}} = 2.17 \cdot \frac{3}{10} = 2.17 \cdot 0.3 = 0.651$$ El intervalo de confianza es: $$\text{IC} = (8.1 - 0.651, \; 8.1 + 0.651)$$ $$\text{IC} = (7.449, \; 8.751)$$ ✅ **Resultado (II-a):** $$\boxed{\text{IC} = (7.449, \; 8.751)}$$

**b) (1 punto) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar $\mu$ con un error máximo de 1 día y un nivel de confianza del 92%?** Datos: - Error máximo $E = 1$. - Desviación típica $\sigma = 3$. - Confianza $1 - \alpha = 0.92 \implies \alpha = 0.08 \implies \alpha/2 = 0.04$. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$. Mirando en la tabla de la normal: $P(Z \le 1.75) = 0.9599 \approx 0.96$. Por tanto, **$z_{\alpha/2} = 1.75$**. Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$\sqrt{n} = \frac{1.75 \cdot 3}{1} = 5.25$$ $$n = (5.25)^2 = 27.5625$$ Como el tamaño de muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** 1, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado (II-b):** $$\boxed{n \ge 28 \text{ enfermos}}$$