Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (2 puntos) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones: $2x + y \le 6; \ 4x + y \le 10; \ -x + y \le 3; \ x \ge 0; \ y \ge 0$ y determine sus vértices.** Para representar la región factible, primero transformamos las desigualdades en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto: 1. $r_1: 2x + y = 6 \implies y = 6 - 2x$ - Puntos: $(0, 6)$ y $(3, 0)$. 2. $r_2: 4x + y = 10 \implies y = 10 - 4x$ - Puntos: $(0, 10)$ y $(2.5, 0)$. 3. $r_3: -x + y = 3 \implies y = x + 3$ - Puntos: $(0, 3)$ y $(3, 6)$. 4. $r_4: x = 0$ (Eje $Y$) 5. $r_5: y = 0$ (Eje $X$) Como todas las desigualdades incluyen el origen $(0,0)$ (pues $0\le 6$, $0\le 10$ y $0\le 3$) y las restricciones $x, y \ge 0$ nos sitúan en el primer cuadrante, la región es el polígono cerrado que contiene al origen. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta sombrear, elige un punto de prueba como el $(0,0)$ y comprueba si cumple la inecuación. Si la cumple, la región es la que contiene a ese punto.

Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas que limitan la región: - **Vértice A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0$. $$\boxed{A(0, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $y=0$ y $r_2: 4x+y=10$. $4x + 0 = 10 \implies x = 2.5$ $$\boxed{B(2.5, 0)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $r_1: 2x+y=6$ y $r_2: 4x+y=10$. Restando las ecuaciones: $(4x+y) - (2x+y) = 10 - 6 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Sustituyendo: $2(2) + y = 6 \implies y = 2$. $$\boxed{C(2, 2)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $r_1: 2x+y=6$ y $r_3: -x+y=3$. Restando las ecuaciones: $(2x+y) - (-x+y) = 6 - 3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. Sustituyendo: $2(1) + y = 6 \implies y = 4$. $$\boxed{D(1, 4)}$$ - **Vértice E:** Intersección de $x=0$ y $r_3: -x+y=3$. $-0 + y = 3 \implies y = 3$. $$\boxed{E(0, 3)}$$ 💡 **Tip:** Un sistema de dos ecuaciones lineales representa el punto donde se cruzan dos rectas. Es fundamental resolverlo correctamente por sustitución, igualación o reducción.

**b) (1 punto) Calcule el máximo de la función $f(x, y) = 4x + 2y - 3$ en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.** Evaluamos la función $f(x, y)$ en cada uno de los vértices hallados: 1. $f(A) = f(0, 0) = 4(0) + 2(0) - 3 = \mathbf{-3}$ 2. $f(B) = f(2.5, 0) = 4(2.5) + 2(0) - 3 = 10 - 3 = \mathbf{7}$ 3. $f(C) = f(2, 2) = 4(2) + 2(2) - 3 = 8 + 4 - 3 = \mathbf{9}$ 4. $f(D) = f(1, 4) = 4(1) + 2(4) - 3 = 4 + 8 - 3 = \mathbf{9}$ 5. $f(E) = f(0, 3) = 4(0) + 2(3) - 3 = 6 - 3 = \mathbf{3}$ Observamos que el valor máximo es **9** y se alcanza en los vértices $C(2, 2)$ y $D(1, 4)$. Como el valor máximo se alcanza en dos vértices adyacentes de la región factible, por las propiedades de la programación lineal, dicho máximo se alcanza en todos los puntos del segmento que los une. 💡 **Tip:** Si la función objetivo es paralela a uno de los lados del recinto (como ocurre aquí con $2x+y=6$), el óptimo no es un único punto, sino todo un segmento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo de } 9 \text{ en todos los puntos del segmento que une } C(2, 2) \text{ y } D(1, 4)}$$