Continuidad, derivabilidad y extremos de una función a trozos

**a) (1.5 puntos) Determine $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es continua y tiene un mínimo en $x = -1$.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en el punto de salto $x = 1$. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: - Límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = 1^2 + a(1) + b = 1 + a + b$$ - Límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} L(x) = L(1) = 0$$ - Valor de la función: $$f(1) = L(1) = 0$$ Para que sea continua, los límites deben coincidir: $$1 + a + b = 0 \implies a + b = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x = c$, se debe cumplir que $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

La función tiene un mínimo en $x = -1$. Como $x = -1 \lt 1$, el mínimo se encuentra en la rama parabólica $f(x) = x^2 + ax + b$. Para que haya un extremo relativo en $x = -1$, la derivada en ese punto debe ser cero: $$f'(x) = 2x + a \quad \text{para } x \lt 1$$ Igualamos a cero en $x = -1$: $$f'(-1) = 2(-1) + a = 0 \implies -2 + a = 0 \implies a = 2$$ Comprobamos que es un mínimo usando la segunda derivada: $$f''(x) = 2 \gt 0$$ Como la segunda derivada es positiva, efectivamente se trata de un mínimo relativo. 💡 **Tip:** Si $f'(c) = 0$ y $f''(c) \gt 0$, entonces la función tiene un mínimo relativo en $x = c$.

Sustituimos el valor de $a = 2$ en la ecuación de continuidad obtenida anteriormente: $$a + b = -1 \implies 2 + b = -1$$ Despejamos $b$: $$b = -1 - 2 = -3$$ Por tanto, los valores para que la función cumpla las condiciones dadas son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -3}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = -1$ y $b = 1$, estudie la derivabilidad de $f$ en $x = -1$ y en $x = 1$.** Sustituimos los parámetros en la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & \text{si } x \lt 1 \\ L(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ **Estudio en $x = -1$:** El punto $x = -1$ pertenece al intervalo $(-\infty, 1)$, donde la función viene definida por el polinomio $f(x) = x^2 - x + 1$. Como todos los polinomios son continuos y derivables en todo $\mathbb{R}$, la función es directamente derivable en $x = -1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es derivable en } x = -1}$$

**Estudio en $x = 1$:** Para estudiar la derivabilidad en un punto de salto entre ramas, primero debemos comprobar la **continuidad**. - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 1^-} (x^2 - x + 1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 1^+} L(x) = L(1) = 0$$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \neq \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$, la función tiene un **salto finito** en $x = 1$ y **no es continua**. 💡 **Tip:** Si una función no es continua en un punto, es imposible que sea derivable en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } x = 1 \text{ por no ser continua en dicho punto}}$$