Probabilidad total, Bayes y distribución de medias muestrales

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.** Primero definimos los sucesos del problema: - $S$: El individuo tiene estudios superiores. - $\bar{S}$: El individuo no tiene estudios superiores. - $E$: El individuo tiene empleo. - $\bar{E}$: El individuo no tiene empleo. Datos del enunciado: - $P(S) = 0.30 \implies P(\bar{S}) = 1 - 0.30 = 0.70$ - $P(E|S) = 0.95$ - $P(E|\bar{S}) = 0.60$ Representamos la situación en un **árbol de probabilidad**: Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** para hallar $P(E)$: $$P(E) = P(S) \cdot P(E|S) + P(\bar{S}) \cdot P(E|\bar{S})$$ $$P(E) = (0.30 \cdot 0.95) + (0.70 \cdot 0.60)$$ $$P(E) = 0.285 + 0.42 = 0.705$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E) = 0.705}$$

**b) (1 punto) Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo; calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores.** Nos piden la probabilidad de que tenga estudios superiores sabiendo que tiene empleo, es decir, la probabilidad condicionada $P(S|E)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(S|E) = \frac{P(S \cap E)}{P(E)} = \frac{P(S) \cdot P(E|S)}{P(E)}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(S|E) = \frac{0.30 \cdot 0.95}{0.705} = \frac{0.285}{0.705}$$ $$P(S|E) \approx 0.4043$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza cuando conocemos el resultado final (tiene empleo) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (estudios superiores). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|E) = \frac{19}{47} \approx 0.4043}$$

**a) (1 punto) Construya todas las muestras posibles de tamaño 2, mediante muestreo aleatorio simple.** En un **muestreo aleatorio simple** de una población finita para formar muestras de tamaño $n=2$, el orden importa y los elementos pueden repetirse (muestreo con reposición). La población es $\{1, 2, 3, 4\}$. El número total de muestras posibles es $N^n = 4^2 = 16$. Las muestras son: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (1, 1) & (1, 2) & (1, 3) & (1, 4) \\ \hline (2, 1) & (2, 2) & (2, 3) & (2, 4) \\ \hline (3, 1) & (3, 2) & (3, 3) & (3, 4) \\ \hline (4, 1) & (4, 2) & (4, 3) & (4, 4) \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística, si no se indica lo contrario, el muestreo aleatorio simple de una población para el estudio de medias muestrales se considera con reposición.

**b) (1 punto) Calcule la varianza de las medias muestrales.** Existen dos formas de resolverlo. La más directa es usar la relación entre la varianza de la población ($\sigma^2$) y la varianza de las medias muestrales ($\sigma_{\bar{x}}^2$). **1. Calculamos la media de la población ($\mu$):** $$\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$$ **2. Calculamos la varianza de la población ($\sigma^2$):** $$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2 = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2}{4} - (2.5)^2$$ $$\sigma^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} - 6.25 = \frac{30}{4} - 6.25 = 7.5 - 6.25 = 1.25$$ **3. Calculamos la varianza de las medias muestrales ($\sigma_{\bar{x}}^2$):** Sabemos que para muestras de tamaño $n$, la varianza de la distribución de medias muestrales es: $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}$$ Sustituyendo $n=2$ y $\sigma^2 = 1.25$: $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{1.25}{2} = 0.625$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular las 16 medias de las muestras del apartado anterior y hallar su varianza directamente, pero este método es mucho más rápido y menos propenso a errores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}}^2 = 0.625}$$