Optimización de la producción de joyas

**Un joyero fabrica dos modelos de anillos. El modelo A se hace con 1 gramo de oro y 1.5 gramos de plata. El modelo B lleva 1.5 gramos de oro y 1 gramo de plata. El joyero sólo dispone de 750 gramos de cada metal y piensa fabricar, al menos, 150 anillos del tipo B que ya tiene encargados. Sabiendo que el beneficio de un anillo del tipo A es de $50$ € y del tipo B es de $70$ €, ¿cuántos anillos ha de fabricar de cada tipo para obtener el beneficio máximo y cuál será éste?** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de anillos del modelo A. - $y$: número de anillos del modelo B. A continuación, traducimos las limitaciones de materiales y las condiciones de fabricación en un sistema de inecuaciones: 1. **Restricción de oro:** El modelo A usa $1$ g y el B usa $1.5$ g. No hay más de $750$ g. $$1x + 1.5y \le 750$$ 2. **Restricción de plata:** El modelo A usa $1.5$ g y el B usa $1$ g. No hay más de $750$ g. $$1.5x + 1y \le 750$$ 3. **Encargo del modelo B:** Debe fabricar al menos $150$ unidades de B. $$y \ge 150$$ 4. **No negatividad:** El número de anillos de tipo A no puede ser negativo. $$x \ge 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre es útil organizar los datos en una tabla si el enunciado es denso para no olvidar ninguna restricción.

Para encontrar la solución óptima, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible. - $L_1: x + 1.5y = 750 \implies$ pasa por $(0, 500)$ y $(750, 0)$. - $L_2: 1.5x + y = 750 \implies$ pasa por $(0, 750)$ y $(500, 0)$. - $L_3: y = 150 \implies$ recta horizontal. - $L_4: x = 0 \implies$ eje de ordenadas. Los vértices de la región factible se obtienen mediante la intersección de estas rectas: - **Vértice A ($L_4 \cap L_3$):** Intersección de $x=0$ con $y=150$. $$\mathbf{A(0, 150)}$$ - **Vértice B ($L_2 \cap L_3$):** Sustituimos $y=150$ en $1.5x + y = 750$: $$1.5x + 150 = 750 \implies 1.5x = 600 \implies x = 400.$$ $$\mathbf{B(400, 150)}$$ - **Vértice C ($L_1 \cap L_2$):** Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + 1.5y = 750 \\ 1.5x + y = 750 \end{cases}$$ De la primera, $x = 750 - 1.5y$. Sustituyendo en la segunda: $$1.5(750 - 1.5y) + y = 750 \implies 1125 - 2.25y + y = 750$$ $$-1.25y = -375 \implies y = 300 \implies x = 300.$$ $$\mathbf{C(300, 300)}$$ - **Vértice D ($L_1 \cap L_4$):** Intersección de $x=0$ con $x + 1.5y = 750$: $$1.5y = 750 \implies y = 500.$$ $$\mathbf{D(0, 500)}$$ 💡 **Tip:** Comprueba siempre que los vértices hallados cumplen todas las inecuaciones del sistema original.

La función objetivo que queremos maximizar representa el beneficio total: $$f(x, y) = 50x + 70y$$ Evaluamos la función en cada uno de los vértices de la región factible: - En $A(0, 150)$: $f(0, 150) = 50(0) + 70(150) = 10500$ € - En $B(400, 150)$: $f(400, 150) = 50(400) + 70(150) = 20000 + 10500 = 30500$ € - En $C(300, 300)$: $f(300, 300) = 50(300) + 70(300) = 15000 + 21000 = 36000$ € - En $D(0, 500)$: $f(0, 500) = 50(0) + 70(500) = 35000$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(300, 300)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el máximo (o mínimo) de la función objetivo se encuentra en uno de los vértices de la región factible (o en un segmento que los une).

Para obtener el beneficio máximo, el joyero debe fabricar: - **$300$ anillos del modelo A.** - **$300$ anillos del modelo B.** El beneficio máximo será de: $$\boxed{36000 \text{ €}}$$