Optimización y estudio de una función de beneficios

**a) (0.75 puntos) Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios.** La empresa no obtiene beneficios cuando la función beneficio es igual o menor que cero. Empezamos buscando los puntos donde el beneficio es nulo, es decir, resolvemos $B(x) = 0$: $$-3x^2 + 120x + 675 = 0$$ Para facilitar el cálculo, podemos dividir toda la ecuación por $-3$: $$x^2 - 40x - 225 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 900}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{2500}}{2} = \frac{40 \pm 50}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{40 + 50}{2} = \frac{90}{2} = 45$ 2. $x_2 = \frac{40 - 50}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ Como el enunciado indica que el gasto en publicidad debe ser $x \ge 0$, descartamos la solución negativa. Por tanto, el beneficio es cero cuando el gasto es de $45$ mil euros. Al ser una parábola con las ramas hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo), a partir de ese valor el beneficio será negativo. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos comprobar que las soluciones matemáticas tienen sentido dentro del dominio definido (en este caso $x \ge 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A partir de un gasto de } 45 \text{ mil euros.}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule el valor de $x$ que produce máximo beneficio. ¿Cuánto es ese beneficio?** Para hallar el máximo, derivamos la función $B(x)$ e igualamos a cero: $$B'(x) = -6x + 120$$ $$B'(x) = 0 \implies -6x + 120 = 0 \implies 6x = 120 \implies x = 20$$ Para confirmar que es un máximo, usamos la segunda derivada: $$B''(x) = -6$$ Como $B''(20) = -6 \lt 0$, confirmamos que en $x = 20$ existe un **máximo relativo**. Ahora calculamos el valor del beneficio para ese gasto sustituyendo en la función original: $$B(20) = -3(20)^2 + 120(20) + 675$$ $$B(20) = -3(400) + 2400 + 675 = -1200 + 2400 + 675 = 1875$$ 💡 **Tip:** El máximo de una función cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ también se encuentra en el vértice, cuya abscisa es $x = -b/(2a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 20 \text{ (20.000 € de gasto) y el beneficio es de } 1875 \text{ (1.875.000 €)}}$$

**c) (0.75 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa.** Estudiamos el signo de la primera derivada $B'(x) = -6x + 120$ en el dominio $[0, +\infty)$, teniendo en cuenta el punto crítico $x = 20$ hallado anteriormente: $$ \begin{array}{c|ccc} x & [0, 20) & 20 & (20, +\infty) \\ \hline B'(x) & + & 0 & - \\ \hline B(x) & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array} $$ Justificación del signo: - Si $0 \le x \lt 20$, por ejemplo $x=10$: $B'(10) = -60 + 120 = 60 \gt 0$. - Si $x \gt 20$, por ejemplo $x=30$: $B'(30) = -180 + 120 = -60 \lt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, 20) \text{ y decreciente en } (20, +\infty)}$$

**d) (0.75 puntos) Represente gráficamente la función $B$.** Para representar la función $B(x) = -3x^2 + 120x + 675$, utilizaremos los puntos clave calculados: - **Punto de corte con el eje Y:** Si $x=0$, $B(0) = 675$. Punto $(0, 675)$. - **Vértice (Máximo):** Punto $(20, 1875)$. - **Punto de corte con el eje X:** Calculado en el apartado a), $x=45$. Punto $(45, 0)$. La gráfica es una parábola con concavidad hacia abajo que comienza en $x=0$.