Probabilidad total, Bayes e Intervalo de confianza para la proporción

Para resolver la primera parte del ejercicio, lo primero que debemos hacer es definir los sucesos y organizar la información en un árbol de probabilidad. Definimos los sucesos: - $H$: Ser hombre. - $M$: Ser mujer. - $I$: Ser inmigrante. - $\bar{I}$: No ser inmigrante. Datos del enunciado: - $P(H) = 0,45$ (el 45% son hombres). - $P(M) = 1 - 0,45 = 0,55$ (el resto son mujeres). - $P(I|H) = 0,10$ (el 10% de los hombres son inmigrantes). - $P(I|M) = 0,08$ (el 8% de las mujeres son inmigrantes). Representamos el **árbol de probabilidad**:

**a) (1 punto) ¿Qué porcentaje de inmigrantes hay en esta población?** Para hallar la probabilidad total de ser inmigrante, $P(I)$, sumamos las probabilidades de ser inmigrante siendo hombre y ser inmigrante siendo mujer. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(I) = P(H) \cdot P(I|H) + P(M) \cdot P(I|M)$$ Sustituimos los valores: $$P(I) = 0,45 \cdot 0,10 + 0,55 \cdot 0,08$$ $$P(I) = 0,045 + 0,044 = 0,089$$ Para dar la respuesta en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0,089 \cdot 100 = 8,9\%$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar las ramas del árbol que terminan en el suceso que nos piden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{8,9\%}$$

**b) (1 punto) Si se elige, al azar, un inmigrante de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?** Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que sea hombre sabiendo que es inmigrante, $P(H|I)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(H|I) = \frac{P(H \cap I)}{P(I)} = \frac{P(H) \cdot P(I|H)}{P(I)}$$ Utilizamos el valor de $P(I)$ calculado en el apartado anterior: $$P(H|I) = \frac{0,45 \cdot 0,10}{0,089}$$ $$P(H|I) = \frac{0,045}{0,089} \approx 0,5056$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (es inmigrante) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (que sea hombre). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H|I) \approx 0,5056}$$

**Parte II: (2 puntos) Tomada al azar una muestra de 90 alumnos de un Instituto se encontró que un tercio habla inglés. Halle, con un nivel de confianza del 97%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de alumnos de ese Instituto que habla inglés.** Primero extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 90$. - Proporción muestral de alumnos que hablan inglés: $\hat{p} = \dfrac{1}{3} \approx 0,3333$. - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = \dfrac{2}{3} \approx 0,6667$. Ahora calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $97\%$ ($1 - \alpha = 0,97$): 1. $\alpha = 1 - 0,97 = 0,03$ 2. $\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{0,03}{2} = 0,015$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, vemos que para una probabilidad de $0,9850$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que abarca el área central de confianza en una normal estándar.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}{90}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{2/9}{90}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{2}{810}}$$ $$E = 2,17 \cdot \sqrt{0,002469} \approx 2,17 \cdot 0,0497 \approx 0,1078$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $\hat{p} - E = 0,3333 - 0,1078 = 0,2255$ - Límite superior: $\hat{p} + E = 0,3333 + 0,1078 = 0,4411$ 💡 **Tip:** Asegúrate de usar suficientes decimales en las raíces cuadradas para no arrastrar errores de redondeo excesivos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0,2255, \; 0,4411)}$$