Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Dadas las matrices $F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$, calcule los productos $C \cdot F$ y $F \cdot C$.** Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. En el caso de $C \cdot F$: - $C$ es una matriz de dimensión $3 \times 1$. - $F$ es una matriz de dimensión $1 \times 3$. El resultado será una matriz de dimensión $3 \times 3$. Multiplicamos cada elemento de la columna por cada elemento de la fila: $$C \cdot F = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 3 \\ 5 \cdot 2 & 5 \cdot (-1) & 5 \cdot 3 \\ -2 \cdot 2 & -2 \cdot (-1) & -2 \cdot 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones: $$C \cdot F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 10 & -5 & 15 \\ -4 & 2 & -6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el elemento en la posición $(i, j)$ de la matriz producto se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado del producto $C \cdot F$:** $$\boxed{C \cdot F = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 10 & -5 & 15 \\ -4 & 2 & -6 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos el producto $F \cdot C$: - $F$ es una matriz de dimensión $1 \times 3$. - $C$ es una matriz de dimensión $3 \times 1$. El resultado será una matriz de dimensión $1 \times 1$ (un escalar). $$F \cdot C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} = (2 \cdot 1) + (-1 \cdot 5) + (3 \cdot (-2))$$ Operamos los valores: $$F \cdot C = 2 - 5 - 6 = -9$$ ✅ **Resultado del producto $F \cdot C$:** $$\boxed{F \cdot C = (-9)}$$

**b) (2 puntos) Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$ que verifique la ecuación $X \cdot A^{-1} - B = C$.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación matricial: $$X \cdot A^{-1} - B = C$$ Pasamos la matriz $B$ sumando al otro lado: $$X \cdot A^{-1} = C + B$$ Para eliminar $A^{-1}$ y dejar sola a $X$, multiplicamos por la matriz $A$ por la derecha en ambos miembros de la ecuación: $$(X \cdot A^{-1}) \cdot A = (C + B) \cdot A$$ Como $A^{-1} \cdot A = I$ (matriz identidad) y $X \cdot I = X$, obtenemos: $$X = (C + B) \cdot A$$ 💡 **Tip:** Es mucho más eficiente despejar $X$ de esta forma que calcular $A^{-1}$ explícitamente, ya que evitamos calcular la matriz inversa y luego volver a multiplicar por $A$. En ecuaciones matriciales, el orden de los productos es fundamental: si multiplicas por la derecha en un lado, debes hacerlo por la derecha en el otro.

Calculamos primero la suma de las matrices $C$ y $B$: $$C + B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Sumamos elemento a elemento: $$C + B = \begin{pmatrix} 1 + 1 & -1 + (-3) \\ -1 + 2 & 0 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{C + B = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, multiplicamos el resultado anterior por la matriz $A$ para hallar $X$: $$X = (C + B) \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices fila por columna: - Fila 1 por columna 1: $2 \cdot 2 + (-4) \cdot 1 = 4 - 4 = 0$ - Fila 1 por columna 2: $2 \cdot 0 + (-4) \cdot (-1) = 0 + 4 = 4$ - Fila 2 por columna 1: $1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 = 2 - 1 = 1$ - Fila 2 por columna 2: $1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 0 + 1 = 1$ La matriz resultante es: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$