Cálculo de derivadas de funciones

**a) (0.75 puntos) $f(x) = (x^3 + 1) e^{7x}$.** Para resolver este apartado, identificamos que $f(x)$ es un producto de dos funciones: un polinomio $u(x) = x^3 + 1$ y una función exponencial compuesta $v(x) = e^{7x}$. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$: 1. Derivamos $u(x) = x^3 + 1$: $u'(x) = 3x^2$. 2. Derivamos $v(x) = e^{7x}$ usando la regla de la cadena: $v'(x) = e^{7x} \cdot (7x)' = 7e^{7x}$. Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = (3x^2) \cdot e^{7x} + (x^3 + 1) \cdot (7e^{7x})$$ Ahora simplificamos sacando factor común $e^{7x}$: $$f'(x) = e^{7x} [3x^2 + 7(x^3 + 1)] = e^{7x} (3x^2 + 7x^3 + 7)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(x)}$ es $f'(x) e^{f(x)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = (7x^3 + 3x^2 + 7) e^{7x}}$$

**b) (0.75 puntos) $g(x) = 3^x L(x)$.** En este caso, $L(x)$ representa el logaritmo neperiano ($\ln x$). Tenemos un producto de una función exponencial de base 3 y un logaritmo. Aplicamos de nuevo la regla del producto: 1. Derivada de $3^x$: es $3^x \cdot L(3)$. 2. Derivada de $L(x)$: es $\frac{1}{x}$. Operamos: $$g'(x) = (3^x \cdot L(3)) \cdot L(x) + 3^x \cdot \frac{1}{x}$$ Podemos sacar factor común $3^x$ para dejar la expresión más elegante: $$g'(x) = 3^x \left( L(3)L(x) + \frac{1}{x} \right)$$ 💡 **Tip:** No olvides que la derivada de $a^x$ es $a^x \ln(a)$. En algunos enunciados verás $L(x)$ para referirse a $\ln(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = 3^x \left( L(3)L(x) + \frac{1}{x} \right)}$$

**c) (0.75 puntos) $h(x) = (x^2 + 1) (x^5 - 6x)^6$.** Utilizamos la regla del producto combinada con la regla de la potencia (regla de la cadena): 1. Derivada de $(x^2 + 1)$: es $2x$. 2. Derivada de $(x^5 - 6x)^6$: bajamos el exponente y restamos uno, multiplicando por la derivada del interior: $6(x^5 - 6x)^5 \cdot (5x^4 - 6)$. Combinamos según $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$h'(x) = 2x(x^5 - 6x)^6 + (x^2 + 1) \cdot 6(x^5 - 6x)^5 (5x^4 - 6)$$ Para simplificar, sacamos factor común el término $(x^5 - 6x)$ con el exponente más pequeño, que es 5: $$h'(x) = (x^5 - 6x)^5 [2x(x^5 - 6x) + 6(x^2 + 1)(5x^4 - 6)]$$ Expandimos el interior del corchete: $$2x^6 - 12x^2 + 6(5x^6 - 6x^2 + 5x^4 - 6) = 2x^6 - 12x^2 + 30x^6 - 36x^2 + 30x^4 - 36$$ $$= 32x^6 + 30x^4 - 48x^2 - 36$$ 💡 **Tip:** Sacar factor común en las derivadas de productos con potencias facilita mucho el trabajo posterior si tuvieras que hallar máximos o mínimos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(x) = (x^5 - 6x)^5 (32x^6 + 30x^4 - 48x^2 - 36)}$$

**d) (0.75 puntos) $i(x) = \frac{(x+1)^2}{x^2 - 2}$.** Aplicamos la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. 1. Numerador $u = (x+1)^2 \implies u' = 2(x+1)$. 2. Denominador $v = x^2 - 2 \implies v' = 2x$. Sustituimos: $$i'(x) = \frac{2(x+1)(x^2 - 2) - (x+1)^2(2x)}{(x^2 - 2)^2}$$ Extraemos factor común $2(x+1)$ en el numerador para simplificar los cálculos: $$i'(x) = \frac{2(x+1) [ (x^2 - 2) - x(x+1) ]}{(x^2 - 2)^2}$$ $$i'(x) = \frac{2(x+1) [ x^2 - 2 - x^2 - x ]}{(x^2 - 2)^2} = \frac{2(x+1) (-x - 2)}{(x^2 - 2)^2}$$ Multiplicamos los factores del numerador: $$i'(x) = \frac{-2(x^2 + 2x + x + 2)}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-2(x^2 + 3x + 2)}{(x^2 - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** En la regla del cociente, el denominador siempre queda al cuadrado, ¡no intentes desarrollarlo a menos que sea necesario! ✅ **Resultado:** $$\boxed{i'(x) = \frac{-2x^2 - 6x - 4}{(x^2 - 2)^2}}$$