Probabilidad y Estadística: Bombillas e Inferencia

**Parte I: Una caja contiene 12 bombillas, de las cuales 4 están fundidas. Se eligen, al azar y sin reemplazamiento, tres bombillas de esa caja.** Primero definimos los sucesos: - $F$: La bombilla está fundida. - $G$: La bombilla no está fundida (está bien). Datos iniciales: - Total de bombillas: $12$ - Bombillas fundidas ($F$): $4$ - Bombillas no fundidas ($G$): $12 - 4 = 8$ Como el muestreo es **sin reemplazamiento**, las probabilidades cambian en cada extracción. Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** Al ser sin reemplazamiento, tanto el numerador como el denominador disminuyen en una unidad en cada extracción consecutiva del mismo tipo.

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ninguna de las tres bombillas esté fundida.** Que ninguna esté fundida significa que las tres elegidas deben ser buenas ($G$). Según el diagrama de árbol, seguimos la rama superior: $$P(G_1 \cap G_2 \cap G_3) = P(G_1) \cdot P(G_2|G_1) \cdot P(G_3|G_1 \cap G_2)$$ Sustituimos los valores: $$P(\text{ninguna fundida}) = \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{10}$$ Operamos simplificando antes de multiplicar para facilitar el cálculo: $$P(\text{ninguna fundida}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 11 \cdot 5} = \frac{14}{55}$$ Calculando el decimal: $$P(\text{ninguna fundida}) \approx 0.2545$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ninguna fundida}) = \frac{14}{55} \approx 0.2545}$$

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que las tres bombillas estén fundidas.** Para este caso, debemos seguir la rama donde las tres bombillas son fundidas ($F$): $$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = P(F_1) \cdot P(F_2|F_1) \cdot P(F_3|F_1 \cap F_2)$$ Sustituimos las fracciones correspondientes: $$P(\text{tres fundidas}) = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{2}{10}$$ Simplificamos: $$P(\text{tres fundidas}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 11 \cdot 5} = \frac{1}{55}$$ Calculando el decimal: $$P(\text{tres fundidas}) \approx 0.0182$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{tres fundidas}) = \frac{1}{55} \approx 0.0182}$$

**Parte II: El tiempo de utilización diaria de ordenador sigue una distribución Normal de media $\mu$ y desviación típica 1.2 horas.** **a) (1.25 puntos) Una muestra aleatoria de 40 empleados tiene una media de 2.85 horas diarias. Determine un intervalo de confianza al 96% para la media.** Identificamos los parámetros: - Distribución: $X \sim N(\mu, 1.2)$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1.2$ - Tamaño de la muestra: $n = 40$ - Media muestral: $\bar{x} = 2.85$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.96$, entonces $\alpha = 0.04$. 2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.02$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0.02 = 0.98$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.98$$ En la tabla de la Normal $N(0, 1)$, el valor que más se aproxima a $0.98$ está entre $2.05$ (0.9798) y $2.06$ (0.9803). Tomamos el punto medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.055}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza se calcula como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Primero calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.055 \cdot \frac{1.2}{\sqrt{40}}$$ Calculamos el denominador: $\sqrt{40} \approx 6.3246$. $$E = 2.055 \cdot \frac{1.2}{6.3246} \approx 2.055 \cdot 0.1897 \approx 0.3899$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $\bar{x} - E = 2.85 - 0.3899 = 2.4601$ - Límite superior: $\bar{x} + E = 2.85 + 0.3899 = 3.2399$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (2.4601, 3.2399)}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule el tamaño mínimo que debería tener una muestra para estimar la media con un error no superior a 0.75 horas y el mismo nivel de confianza.** Datos para este apartado: - Error máximo: $E \le 0.75$ - Nivel de confianza: $96\% \implies z_{\alpha/2} = 2.055$ - Desviación típica: $\sigma = 1.2$ Partimos de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 0.75$, por tanto: $$2.055 \cdot \frac{1.2}{\sqrt{n}} \le 0.75$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\frac{2.055 \cdot 1.2}{0.75} \le \sqrt{n}$$ $$\frac{2.466}{0.75} \le \sqrt{n}$$ $$3.288 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$n \ge (3.288)^2$$ $$n \ge 10.811$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, tomamos el primer entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 11\text{ empleados}}$$