Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por estas inecuaciones.** Para representar la región factible, primero convertimos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto: 1. **Recta $r_1$:** $2y - x = 8 \implies y = \frac{x+8}{2}$. Puntos: $(0, 4)$ y $(-8, 0)$. 2. **Recta $r_2$:** $x + y = 13 \implies y = 13 - x$. Puntos: $(0, 13)$ y $(13, 0)$. 3. **Recta $r_3$:** $y + 4x = 49 \implies y = 49 - 4x$. Puntos: $(10, 9)$ y $(12, 1)$. 4. **Ejes:** $x = 0$ (eje $Y$) e $y = 0$ (eje $X$). Como $x \ge 0$ e $y \ge 0$, nos limitamos al **primer cuadrante**. Determinamos el semiplano de cada inecuación probando con un punto, por ejemplo el $(0,0)$: - $2(0) - 0 \le 8 \implies 0 \le 8$ (Verdadero, contiene al origen). - $0 + 0 \ge 13 \implies 0 \ge 13$ (Falso, no contiene al origen). - $0 + 4(0) \le 49 \implies 0 \le 49$ (Verdadero, contiene al origen). 💡 **Tip:** Si al sustituir el punto $(0,0)$ en la inecuación se cumple la desigualdad, el semiplano solución es el que contiene al origen. Si no, es el lado opuesto. Aquí tienes la representación gráfica del recinto:

**b) (1 punto) Determine los vértices del recinto.** Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región factible. Según la gráfica, tenemos tres vértices: 1. **Vértice $A$ (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ x + y = 13 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $3y = 21 \implies \mathbf{y = 7}$. Sustituimos en la segunda: $x + 7 = 13 \implies \mathbf{x = 6}$. $$A(6, 7)$$ 2. **Vértice $B$ (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 13 \\ 4x + y = 49 \end{cases}$$ Restamos la primera a la segunda: $3x = 36 \implies \mathbf{x = 12}$. Sustituimos en la primera: $12 + y = 13 \implies \mathbf{y = 1}$. $$B(12, 1)$$ 3. **Vértice $C$ (Intersección de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ 4x + y = 49 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por $4$: $-4x + 8y = 32$. Sumamos a la segunda: $9y = 81 \implies \mathbf{y = 9}$. Sustituimos en la primera: $-x + 2(9) = 8 \implies -x + 18 = 8 \implies \mathbf{x = 10}$. $$C(10, 9)$$ 💡 **Tip:** Para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales, el método de reducción suele ser el más rápido si los coeficientes son sencillos. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(6, 7), \quad B(12, 1), \quad C(10, 9)}$$

**c) (0.5 puntos) Obtenga los valores extremos de la función $F(x, y) = 3x - 4y + 12$ en ese recinto e indique en qué punto o puntos se alcanza cada extremo.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 3x - 4y + 12$ en cada uno de los vértices hallados: - Para $A(6, 7)$: $$F(6, 7) = 3(6) - 4(7) + 12 = 18 - 28 + 12 = \mathbf{2}$$ - Para $B(12, 1)$: $$F(12, 1) = 3(12) - 4(1) + 12 = 36 - 4 + 12 = \mathbf{44}$$ - Para $C(10, 9)$: $$F(10, 9) = 3(10) - 4(9) + 12 = 30 - 36 + 12 = \mathbf{6}$$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **44** y se alcanza en el punto **$B(12, 1)$**. - El valor mínimo es **2** y se alcanza en el punto **$A(6, 7)$**. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal establece que, si la región factible es acotada, los extremos óptimos se encuentran siempre en los vértices del recinto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 44 \text{ en } B(12, 1) ; \quad \text{Mínimo: } 2 \text{ en } A(6, 7)}$$