Estudio y representación de una función polinómica

**a) (1 punto) Determine sus puntos de corte con los ejes.** Para hallar los puntos de corte, analizamos la intersección con cada eje por separado: 1. **Corte con el eje $Y$ (ordenada al origen):** Hacemos $x = 0$ y calculamos $f(0)$: $$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 = 0$$ El punto de corte es $(0, 0)$. 2. **Corte con el eje $X$ (abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$ y resolvemos la ecuación: $$x^3 - 6x^2 = 0$$ Factorizamos sacando factor común $x^2$: $$x^2(x - 6) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: - $x^2 = 0 \implies x = 0$ - $x - 6 = 0 \implies x = 6$ 💡 **Tip:** Para encontrar los cortes con el eje $X$, siempre igualamos la función a cero. En polinomios, el factor común suele ser el camino más rápido. Los puntos de corte con los ejes son: $$\boxed{(0, 0) \text{ y } (6, 0)}$$

**b) (1 punto) Calcule sus extremos relativos y su punto de inflexión.** Primero, calculamos la primera derivada para hallar los puntos críticos: $$f'(x) = 3x^2 - 12x$$ Igualamos a cero para encontrar los candidatos a extremos relativos: $$3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0$$ Obtenemos $x_1 = 0$ y $x_2 = 4$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ para determinar la monotonía y la naturaleza de los extremos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 4) & 4 & (4, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de estos puntos: - Para $x = 0$: $f(0) = 0$. Hay un **máximo relativo en $(0, 0)$**. - Para $x = 4$: $f(4) = 4^3 - 6(4)^2 = 64 - 96 = -32$. Hay un **mínimo relativo en $(4, -32)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que un máximo relativo ocurre donde la función pasa de crecer a decrecer ($f'$ cambia de $+$ a $-$).

Para hallar el punto de inflexión, calculamos la segunda derivada: $$f''(x) = 6x - 12$$ Igualamos a cero: $$6x - 12 = 0 \implies 6x = 12 \implies x = 2$$ Estudiamos la curvatura analizando el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $f''(x)$, en $x=2$ existe un punto de inflexión. Calculamos su ordenada: $$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 = 8 - 24 = -16$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Máx: } (0,0), \text{ Mín: } (4,-32), \text{ P.I.: } (2,-16)}$$

**c) (1 punto) Represente gráficamente la función.** Para representar la función, unimos la información obtenida: 1. Puntos de corte: $(0,0)$ y $(6,0)$. 2. Máximo relativo en $(0,0)$ y mínimo relativo en $(4,-32)$. 3. Punto de inflexión en $(2,-16)$. 4. Comportamiento en el infinito: - $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 6x^2) = +\infty$ - $\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 6x^2) = -\infty$ Utilizamos estos puntos clave para trazar la curva suavemente.