Probabilidad en el aula de informática y distribución de medias muestrales

**a) (1 punto) Seleccionado al azar un puesto en el aula, ¿cuál es la probabilidad de que no funcione el ordenador?** Primero, definimos los sucesos del experimento aleatorio: - $C$: El puesto es compartido. - $I$: El puesto es individual. - $F$: El ordenador funciona. - $NF$: El ordenador no funciona. Calculamos las probabilidades iniciales: - Hay 20 puestos en total: $P(C) = \frac{10}{20} = 0.5$ y $P(I) = \frac{10}{20} = 0.5$. - En los compartidos: $P(NF|C) = \frac{3}{10} = 0.3$ y $P(F|C) = 1 - 0.3 = 0.7$. - En los individuales: $P(NF|I) = \frac{2}{10} = 0.2$ y $P(F|I) = 1 - 0.2 = 0.8$. Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

Para hallar la probabilidad de que no funcione el ordenador, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de las ramas que terminan en $NF$: $$P(NF) = P(C) \cdot P(NF|C) + P(I) \cdot P(NF|I)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(NF) = 0.5 \cdot 0.3 + 0.5 \cdot 0.2$$ $$P(NF) = 0.15 + 0.10 = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(NF) = 0.25}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales de un árbol siempre debe ser 1.

**b) (1 punto) Si se elige al azar un puesto en el que funciona el ordenador, ¿cuál es la probabilidad de que sea compartido?** Nos piden la probabilidad de que el puesto sea compartido sabiendo que funciona, es decir, $P(C|F)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C|F) = \frac{P(C \cap F)}{P(F)}$$ Primero calculamos $P(F)$ (la probabilidad de que funcione). Podemos usar el complementario de $P(NF)$ calculado anteriormente: $$P(F) = 1 - P(NF) = 1 - 0.25 = 0.75$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección $P(C \cap F)$: $$P(C \cap F) = P(C) \cdot P(F|C) = 0.5 \cdot 0.7 = 0.35$$ Sustituimos en la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(C|F) = \frac{0.35}{0.75} = \frac{35}{75}$$ Simplificamos dividiendo entre 5: $$P(C|F) = \frac{7}{15} \approx 0.4667$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|F) = \frac{7}{15} \approx 0.4667}$$ 💡 **Tip:** En problemas de Bayes, el denominador es siempre la probabilidad total del suceso que sabemos que ha ocurrido (en este caso, que funcione).

**a) (0.5 puntos) ¿Qué distribución sigue la media de las muestras?** Partimos de una población que sigue una distribución Normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(28, 2.7)$$ Cuando tomamos muestras aleatorias de tamaño $n$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución Normal con la misma media $\mu$ y una desviación típica igual a la de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra $(\sigma/\sqrt{n})$. Datos: - $\mu = 28$ - $\sigma = 2.7$ - $n = 9$ Calculamos la nueva desviación típica (error estándar): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2.7}{\sqrt{9}} = \frac{2.7}{3} = 0.9$$ Por tanto, la distribución de la media muestral es: $$\bar{X} \sim N(28, 0.9)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(28, 0.9)}$$

**b) (1.5 puntos) Si elegimos, al azar, una de esas muestras, ¿cuál es la probabilidad de que su media esté comprendida entre 26 y 29 kg?** Buscamos $P(26 \le \bar{X} \le 29)$. Para ello, debemos tipificar la variable utilizando la distribución hallada en el paso anterior $\bar{X} \sim N(28, 0.9)$, mediante el cambio $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P(26 \le \bar{X} \le 29) = P\left( \frac{26 - 28}{0.9} \le Z \le \frac{29 - 28}{0.9} \right)$$ $$P\left( \frac{-2}{0.9} \le Z \le \frac{1}{0.9} \right) = P(-2.22 \le Z \le 1.11)$$ Calculamos esta probabilidad usando las propiedades de la Normal: $$P(-2.22 \le Z \le 1.11) = P(Z \le 1.11) - P(Z \le -2.22)$$ Como $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$: $$P(Z \le 1.11) - (1 - P(Z \le 2.22))$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0,1)$: - $P(Z \le 1.11) = 0.8665$ - $P(Z \le 2.22) = 0.9868$ Operamos: $$0.8665 - (1 - 0.9868) = 0.8665 - 0.0132 = 0.8533$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(26 \le \bar{X} \le 29) = 0.8533}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al tipificar para la media muestral se usa $\sigma/\sqrt{n}$, no $\sigma$.