Ecuación matricial y sistemas de ecuaciones con matrices

**a) (2 puntos) Halle la matriz $X$ que verifica la ecuación $X \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$** Primero, simplificamos el lado derecho de la ecuación realizando el producto de las dos matrices dadas. Llamaremos $A$ a la matriz que multiplica a $X$ y $B$ al resultado del producto de la derecha. Calculamos el producto de una matriz columna ($2 \times 1$) por una matriz fila ($1 \times 2$), lo que nos dará una matriz de dimensión $2 \times 2$: $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 1 \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$$ Ahora la ecuación tiene la forma $X \cdot A = B$, donde: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para despejar $X$ en $X \cdot A = B$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha: $X = B \cdot A^{-1}$.

Para hallar $X = B \cdot A^{-1}$, primero debemos comprobar si $A$ es invertible calculando su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3) - (5 \cdot 1) = 6 - 5 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa. Calculamos la matriz adjunta y su traspuesta: 1. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: $Adj(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ 2. Traspuesta de la adjunta $Adj(A)^t$: $Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ Finalmente, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot Adj(A)^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En matrices $2 \times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo a los de la secundaria, dividiendo luego por el determinante.

Sustituimos los valores en la expresión $X = B \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$X = \begin{pmatrix} (3 \cdot 3 + 4 \cdot (-1)) & (3 \cdot (-5) + 4 \cdot 2) \\ (6 \cdot 3 + 8 \cdot (-1)) & (6 \cdot (-5) + 8 \cdot 2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 9 - 4 & -15 + 8 \\ 18 - 8 & -30 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ 10 & -14 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ 10 & -14 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Determine los valores de $x$ e $y$ que cumplen la igualdad $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$** Realizamos los productos de las matrices en ambos lados de la igualdad: Lado izquierdo: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot x + 0 \cdot y \\ 3 \cdot x + (-1) \cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 3x - y \end{pmatrix}$$ Lado derecho: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \\ -x \cdot 1 + y \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -x + y \end{pmatrix}$$ Igualamos ambos resultados: $$\begin{pmatrix} x \\ 3x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -x + y \end{pmatrix}$$

Para que dos matrices sean iguales, sus elementos correspondientes deben ser iguales. Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $x = 3$ 2. $3x - y = -x + y$ Sustituimos el valor de $x = 3$ en la segunda ecuación: $$3(3) - y = -(3) + y$$ $$9 - y = -3 + y$$ Agrupamos términos con $y$ en un lado y números en el otro: $$9 + 3 = y + y$$ $$12 = 2y$$ $$y = \frac{12}{2} = 6$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica la solución sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{x = 3, \quad y = 6}$$