Continuidad con parámetros y recta tangente

**a) (2 puntos) Calcule $a$ y $b$, sabiendo que $f(2) = 7$ y que $f$ es continua en $x = 1$.** Primero, utilizamos el dato $f(2) = 7$. Como $x = 2$ es mayor que $1$, debemos usar la segunda rama de la función: $$f(x) = ax + b \quad \text{para } x > 1$$ Sustituimos $x = 2$ e igualamos a $7$: $$f(2) = a(2) + b = 7 \implies 2a + b = 7$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre en qué rama cae el valor de $x$ comparándolo con los intervalos del dominio definidos en la función a trozos.

Para que la función sea continua en $x = 1$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(1)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función. Calculamos el valor de la función y los límites laterales: - **Valor de la función y límite por la izquierda ($x \le 1$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 1^2 + 4 = 5$$ - **Límite por la derecha ($x > 1$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1) + b = a + b$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$a + b = 5$$ 💡 **Tip:** En funciones a trozos, la continuidad en el punto de salto requiere que los límites por la izquierda y por la derecha coincidan.

Ahora resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} 2a + b = 7 \\ a + b = 5 \end{cases}$$ Podemos usar el método de resta (reducción). Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(2a - a) + (b - b) = 7 - 5 \implies a = 2$$ Sustituimos $a = 2$ en la segunda ecuación: $$2 + b = 5 \implies b = 3$$ ✅ **Resultado (a y b):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 3}$$

**b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$.** Para la recta tangente en $x = -1$, necesitamos el punto de la curva $(x_0, f(x_0))$ y la pendiente $m = f'(x_0)$. Como $x = -1$ pertenece al intervalo $x \le 1$, trabajamos con la primera rama: $f(x) = x^2 + 4$. 1. **Calcular la ordenada del punto:** $$f(-1) = (-1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5 \implies \text{Punto } (-1, 5)$$ 2. **Calcular la pendiente:** Derivamos la primera rama: $$f'(x) = (x^2 + 4)' = 2x$$ Sustituimos $x = -1$: $$m = f'(-1) = 2(-1) = -2$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto.

Usamos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituimos los valores $x_0 = -1$, $f(-1) = 5$ y $f'(-1) = -2$: $$y - 5 = -2(x - (-1))$$ $$y - 5 = -2(x + 1)$$ $$y - 5 = -2x - 2$$ $$y = -2x + 3$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -2x + 3}$$