Probabilidad y Estimación de Proporciones

Para resolver la primera parte del ejercicio, definimos los sucesos y extraemos los datos del enunciado: - $O$: "Hogar con ordenador". - $T$: "Hogar donde se ve la TDT". Datos: - $P(T) = 0.60$ - $P(O) = 0.70$ - $P(T|O) = 0.80$ (Probabilidad de ver la TDT sabiendo que hay ordenador) Podemos organizar la información en una tabla de contingencia para visualizar mejor las relaciones. Primero calculamos la intersección: $$P(T \cap O) = P(O) \cdot P(T|O) = 0.70 \cdot 0.80 = 0.56$$ Ahora completamos la tabla: $$\begin{array}{c|cc|c} & T & \overline{T} & \text{Total} \\\hline O & 0.56 & 0.14 & 0.70 \\ \overline{O} & 0.04 & 0.26 & 0.30 \\\hline \text{Total} & 0.60 & 0.40 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con varios datos cruzados, una tabla de contingencia suele ser más clara que un árbol cuando conocemos las probabilidades marginales ($P(T)$ y $P(O)$).

**a) (1 punto) ¿Son sucesos independientes “disponer de ordenador” y “poder ver la TDT”?** Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, se debe cumplir: $$P(T \cap O) = P(T) \cdot P(O)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(T) \cdot P(O) = 0.60 \cdot 0.70 = 0.42$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección que hallamos antes ($0.56$): $$0.56 \neq 0.42 \implies P(T \cap O) \neq P(T) \cdot P(O)$$ Como no se cumple la igualdad, los sucesos son **dependientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(T|O) = P(T)$. En este caso $0.80 \neq 0.60$, por lo que se confirma la dependencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, son sucesos dependientes}}$$

**b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de hogares no disponen de ordenador ni pueden ver la TDT?** Nos piden la probabilidad de que no ocurra $O$ y no ocurra $T$, es decir, $P(\overline{O} \cap \overline{T})$. Utilizando las **Leyes de De Morgan**, sabemos que: $$P(\overline{O} \cap \overline{T}) = P(\overline{O \cup T}) = 1 - P(O \cup T)$$ Calculamos primero la unión: $$P(O \cup T) = P(O) + P(T) - P(O \cap T)$$ $$P(O \cup T) = 0.70 + 0.60 - 0.56 = 0.74$$ Entonces: $$P(\overline{O} \cap \overline{T}) = 1 - 0.74 = 0.26$$ Si miramos nuestra tabla de contingencia del paso 1, este valor corresponde a la celda donde se cruzan $\overline{O}$ y $\overline{T}$, que efectivamente es $0.26$. Convertido a porcentaje: $0.26 \cdot 100 = 26\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{26\% \text{ de los hogares}}$$

**(2 puntos) En un centro de anillamiento de aves se ha detectado que en una muestra de 250 ejemplares de una especie, 60 son portadoras de una bacteria. Obtenga un intervalo de confianza, al 97%, para la proporción de aves de esa especie que son portadoras de la bacteria.** Identificamos los datos para la estimación de la proporción: - Tamaño de la muestra ($n$): $250$ - Casos favorables: $60$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \frac{60}{250} = 0.24$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): $\hat{q} = 1 - 0.24 = 0.76$ Nivel de confianza: $97\% \implies 1 - \alpha = 0.97$. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para una proporción tiene la estructura: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$.

Para un nivel de confianza del $97\%$: 1. Calculamos $\alpha$: $1 - 0.97 = 0.03$. 2. Repartimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - 0.015 = 0.985$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ el valor interior $0.985$, encontramos que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no estuviera en la tabla, tomaríamos el más cercano o realizaríamos una interpolación.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.24 \cdot 0.76}{250}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.1824}{250}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{0.0007296} \approx 2.17 \cdot 0.027011 = 0.0586$$ El intervalo se construye como $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.24 - 0.0586 = 0.1814$ - Límite superior: $0.24 + 0.0586 = 0.2986$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.1814, \, 0.2986)}$$