Maximización del beneficio en producción de leche

**Determine la cantidad de botellas de cada tipo que proporciona un beneficio máximo y el importe de este beneficio.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de botellas de leche entera producidas al día. - $y$: número de botellas de leche desnatada producidas al día. A continuación, definimos la función de beneficio $B(x, y)$. Como los beneficios se dan en céntimos (20 y 32), podemos trabajar en euros para que el resultado final sea más manejable: $$B(x, y) = 0,20x + 0,32y$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa cada variable y en qué unidades estamos midiendo el beneficio (céntimos o euros).

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Capacidad máxima:** La suma de ambas no puede superar las 6000 botellas. $$x + y \le 6000$$ 2. **Producción mínima de desnatada:** Al menos la quinta parte de la entera. $$y \ge \frac{x}{5} \implies 5y \ge x \implies x - 5y \le 0$$ 3. **Producción máxima de desnatada:** Como máximo el triple de la entera. $$y \le 3x \implies 3x - y \ge 0$$ 4. **No negatividad:** No se pueden producir cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} x + y \le 6000 \\ x - 5y \le 0 \\ 3x - y \ge 0 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible (el conjunto de soluciones que cumplen todas las condiciones). - $r_1: x + y = 6000$ (pasa por $(0, 6000)$ y $(6000, 0)$). - $r_2: y = \frac{1}{5}x$ (pasa por $(0, 0)$ y $(5000, 1000)$). - $r_3: y = 3x$ (pasa por $(0, 0)$ y $(2000, 6000)$). La región factible es el triángulo formado por la intersección de estos semiplanos.

Calculamos los puntos de corte de las rectas para obtener los vértices de la región factible: - **Vértice A:** Intersección de $y = 3x$ e $y = \frac{1}{5}x$. $$3x = \frac{1}{5}x \implies 15x = x \implies 14x = 0 \implies x=0, y=0 \implies \mathbf{A(0, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x + y = 6000$ e $y = 3x$. $$x + 3x = 6000 \implies 4x = 6000 \implies x = 1500$$ $$y = 3(1500) = 4500 \implies \mathbf{B(1500, 4500)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + y = 6000$ e $y = \frac{1}{5}x$. $$x + \frac{1}{5}x = 6000 \implies \frac{6}{5}x = 6000 \implies 6x = 30000 \implies x = 5000$$ $$y = \frac{1}{5}(5000) = 1000 \implies \mathbf{C(5000, 1000)}$$ 💡 **Tip:** En programación lineal, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 0,20x + 0,32y$ en cada uno de los vértices hallados: 1. En $A(0, 0)$: $$B(0, 0) = 0,20(0) + 0,32(0) = 0 \text{ €}$$ 2. En $B(1500, 4500)$: $$B(1500, 4500) = 0,20(1500) + 0,32(4500) = 300 + 1440 = 1740 \text{ €}$$ 3. En $C(5000, 1000)$: $$B(5000, 1000) = 0,20(5000) + 0,32(1000) = 1000 + 320 = 1320 \text{ €}$$ El beneficio máximo se obtiene en el punto $B(1500, 4500)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{1500 botellas de leche entera, 4500 botellas de desnatada. Beneficio: 1740 €}}$$