Estudio de continuidad, derivabilidad y monotonía

**a) (1 punto) ¿Es $f$ continua en $x = 0$? ¿Es continua en su dominio?** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben coincidir el valor de la función en ese punto y sus límites laterales. 1. Valor de la función en $x = 0$: Utilizamos la primera rama (donde está el igual en $x \le 0$): $$f(0) = e^0 = 1$$ 2. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): Usamos la rama $e^x$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1$$ 3. Límite por la derecha ($x \to 0^+$): Usamos la rama $x^2 + x + 1$: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + x + 1) = 0^2 + 0 + 1 = 1$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si no presenta saltos. En las funciones a trozos, el punto crítico es donde cambian las ramas.

Analizamos la continuidad en el resto de intervalos: - En el intervalo $(-\infty, 0)$, $f(x) = e^x$, que es una función exponencial, continua en todo su dominio real. - En el intervalo $(0, +\infty)$, $f(x) = x^2 + x + 1$, que es una función polinómica, continua en todo su dominio real. Al ser continua en las ramas y no presentar salto entre intervalos en $x = 0$, concluimos: ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo su dominio } \mathbb{R}}$$

**b) (1 punto) ¿Es $f$ derivable en $x = 0$? ¿Es derivable en su dominio?** Primero, calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 0$, primero debe ser continua (ya comprobado) y además las derivadas laterales deben coincidir: 1. Derivada lateral izquierda ($f'(0^-)$): $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = e^0 = 1$$ 2. Derivada lateral derecha ($f'(0^+)$): $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x + 1) = 2(0) + 1 = 1$$ Como $f'(0^-) = f'(0^+) = 1$, la función es **derivable en $x = 0$** y se cumple que $f'(0) = 1$. 💡 **Tip:** La derivabilidad implica que la gráfica no tiene "picos" o puntos angulosos en la unión de las ramas.

Al igual que con la continuidad: - En $(-\infty, 0)$, la función es una exponencial, que es derivable. - En $(0, +\infty)$, la función es un polinomio, que es derivable. - Hemos comprobado que en $x = 0$ también es derivable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en todo su dominio } \mathbb{R}}$$

**c) (1 punto) Estudie la monotonía de $f$.** Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de la derivada $f'(x)$ en todo el dominio. La derivada es: $$f'(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \le 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Analizamos el signo por intervalos: - Si $x < 0$, $f'(x) = e^x$. Como la función exponencial siempre es positiva ($e^x > 0$), entonces $f'(x) > 0$. - Si $x > 0$, $f'(x) = 2x + 1$. Para valores de $x$ positivos, $2x + 1$ siempre es mayor que $1$, por lo que $f'(x) > 0$. - En $x = 0$, $f'(0) = 1 > 0$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 1 & + \\ \hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Creciente} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ La derivada es positiva en todo $\mathbb{R}$, por lo tanto, la función es estrictamente creciente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es estrictamente creciente en todo } \mathbb{R}}$$