Probabilidad con dados e Intervalo de confianza para la proporción

**Parte I (2 puntos) Ana y Blas deciden jugar con un dado de la siguiente forma: “Ana lanza el dado y, si saca un 6, gana y se acaba el juego. En caso contrario lanza Blas, que gana si saca un 2 o un 3, y también se acaba el juego. De no ocurrir esto, la partida se acaba sin ganador. Halle la probabilidad de los siguientes sucesos: “gana Ana”, “gana Blas”, “ninguno gana”.** Primero definimos los sucesos elementales al lanzar un dado: - Sucesos para Ana: $A = \{6\}$ (gana), $\bar{A} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ (no gana). - Sucesos para Blas: $B = \{2, 3\}$ (gana), $\bar{B} = \{1, 4, 5, 6\}$ (no gana). Calculamos sus probabilidades individuales: - $P(A) = \frac{1}{6}$ - $P(\bar{A}) = \frac{5}{6}$ - $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ - $P(\bar{B}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ Representamos el juego en un árbol: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas.

A partir del diagrama, calculamos la probabilidad de cada suceso: 1. **Gana Ana:** Es el suceso directo del primer lanzamiento. $$P(\text{gana Ana}) = P(A) = \frac{1}{6}$$ 2. **Gana Blas:** Para que gane Blas, Ana no debe haber ganado primero y luego Blas debe sacar un 2 o un 3. $$P(\text{gana Blas}) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$$ 3. **Ninguno gana:** Ocurre si Ana no gana y Blas tampoco gana. $$P(\text{ninguno gana}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar que la suma de todas las probabilidades es 1: $\frac{6}{36} + \frac{10}{36} + \frac{20}{36} = \frac{36}{36} = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Gana Ana}) = \frac{1}{6} \approx 0.1667; \quad P(\text{Gana Blas}) = \frac{5}{18} \approx 0.2778; \quad P(\text{Ninguno}) = \frac{5}{9} \approx 0.5556}$$

**Parte II (2 puntos) En una muestra representativa de 1200 residentes de una ciudad, 450 utilizan habitualmente el transporte público. Obtenga el intervalo de confianza, al 90%, de la proporción de residentes en la ciudad que utilizan habitualmente el transporte público.** Primero, identificamos los datos del problema: - Tamaño de la muestra ($n$): $n = 1200$ - Número de éxitos ($x$): $x = 450$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{450}{1200} = 0.375$$ - Proporción de fracaso ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.375 = 0.625$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral es la mejor estimación puntual de la proporción poblacional.

El nivel de confianza es del $90\%$, es decir, $1 - \alpha = 0.90$. Calculamos $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.95$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: Para una probabilidad de $0.95$, el valor se encuentra entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor exacto o la media: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son: $90\% \to 1.645$, $95\% \to 1.96$, $99\% \to 2.575$.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.375 \cdot 0.625}{1200}}$$ $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.234375}{1200}} = 1.645 \cdot \sqrt{0.0001953125}$$ $$E \approx 1.645 \cdot 0.013975 \approx 0.02299$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.375 - 0.023 = 0.352$ - Límite superior: $0.375 + 0.023 = 0.398$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.352, \, 0.398)}$$ Con una confianza del $90\%$, la proporción de residentes que usan transporte público está entre el $35.2\%$ y el $39.8\%$.