Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $(A + B) \cdot (A - B)$.** En primer lugar, para calcular el producto solicitado, debemos obtener las matrices resultantes de la suma $(A+B)$ y de la resta $(A-B)$. Calculamos la suma $A+B$ sumando los elementos que ocupan la misma posición: $$A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2-1 \\ 0+2 & 1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos la resta $A-B$ restando los elementos correspondientes: $$A - B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-0 & 2-(-1) \\ 0-2 & 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar matrices deben tener la misma dimensión, y se opera término a término.

Ahora multiplicamos las dos matrices obtenidas en el paso anterior. El producto de matrices se realiza multiplicando filas por columnas: $$(A+B) \cdot (A-B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - Elemento (1,1): $1\cdot 1 + 1\cdot(-2) = 1 - 2 = -1$ - Elemento (1,2): $1\cdot 3 + 1\cdot(-3) = 3 - 3 = 0$ - Elemento (2,1): $2\cdot 1 + 5\cdot(-2) = 2 - 10 = -8$ - Elemento (2,2): $2\cdot 3 + 5\cdot(-3) = 6 - 15 = -9$ $$\text{Resultado: } \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -8 & -9 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado, en general con matrices $(A+B)(A-B) \neq A^2 - B^2$ porque el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$). Por eso es mejor operar el paréntesis primero. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(A+B) \cdot (A-B) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -8 & -9 \end{pmatrix}}$$

**b) (2 puntos) Determine la matriz $X$, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial $(A + 2B) \cdot X = 3I_2$.** Sea $C = A + 2B$. La ecuación es $C \cdot X = 3I_2$. Para despejar $X$, si la matriz $C$ es invertible, multiplicaremos por la izquierda por $C^{-1}$: $$C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot 3I_2 \implies X = 3 \cdot C^{-1}$$ Primero, calculamos la matriz $C = A + 2B$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para despejar $X$ en $CX = D$, la matriz inversa $C^{-1}$ debe ir a la izquierda: $X = C^{-1}D$.

Para hallar $C^{-1}$, primero calculamos su determinante $|C|$: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} = (1 \cdot 9) - (0 \cdot 4) = 9$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz $C$ tiene inversa. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(C)$: - $Adj(C)_{11} = 9$ - $Adj(C)_{12} = -4$ - $Adj(C)_{21} = 0$ - $Adj(C)_{22} = 1$ La matriz adjunta es $Adj(C) = \begin{pmatrix} 9 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Transponemos la matriz adjunta: $(Adj(C))^t = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$. Por tanto, la inversa es: $$C^{-1} = \frac{1}{|C|} (Adj(C))^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$

Sustituimos $C^{-1}$ en la expresión para despejar $X$: $$X = 3 \cdot C^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos el escalar por cada elemento de la matriz: $$X = \begin{pmatrix} 9/3 & 0/3 \\ -4/3 & 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4/3 & 1/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4/3 & 1/3 \end{pmatrix}}$$