Recta tangente y punto de inflexión con parámetros

**a) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = \frac{2}{x}$ en el punto de abscisa 1.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en un punto, necesitamos conocer tanto su coordenada $x$ (abscisa) como su coordenada $y$ (ordenada). Nos dan $x_0 = 1$. Calculamos su imagen sustituyendo en la función: $$y_0 = f(1) = \frac{2}{1} = 2.$$ El punto de tangencia es **$P(1, 2)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el punto de tangencia siempre pertenece tanto a la curva como a la recta tangente.

La pendiente de la recta tangente ($m$) en $x = 1$ coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto: $m = f'(1)$. Primero, derivamos la función $f(x) = \frac{2}{x}$. Podemos verla como $f(x) = 2x^{-1}$: $$f'(x) = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}.$$ Ahora evaluamos en $x = 1$: $$m = f'(1) = -\frac{2}{1^2} = -2.$$ 💡 **Tip:** Si prefieres usar la regla del cociente para $f(x) = \frac{u}{v}$: $f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso: $f'(x) = \frac{0 \cdot x - 2 \cdot 1}{x^2} = -\frac{2}{x^2}$.

Utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$ y $m = -2$: $$y - 2 = -2(x - 1)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y - 2 = -2x + 2$$ $$y = -2x + 4$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = -2x + 4}$$

**b) (1.5 puntos) Sea la función $g(x) = x^3 + ax^2 + b$. Calcule $a$ y $b$ sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto $(2, 5)$.** Que el punto $(2, 5)$ sea un punto de inflexión nos proporciona dos ecuaciones independientes: 1. El punto pertenece a la gráfica: **$g(2) = 5$**. 2. En el punto de inflexión, la segunda derivada se anula: **$g''(2) = 0$**. Calculamos las derivadas de $g(x) = x^3 + ax^2 + b$: $$g'(x) = 3x^2 + 2ax$$ $$g''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** En un punto de inflexión $(x_0, y_0)$, siempre se cumple que la función pasa por ahí y, si la función es polinómica, su segunda derivada en $x_0$ es cero.

Usamos la condición de la segunda derivada $g''(2) = 0$: $$g''(2) = 6(2) + 2a = 0$$ $$12 + 2a = 0$$ $$2a = -12$$ $$a = -\frac{12}{2} = -6$$ ✅ **Valor de a:** $$\boxed{a = -6}$$

Ahora usamos la condición de que el punto $(2, 5)$ pertenece a la función: $g(2) = 5$. Sustituimos $x = 2$ y el valor de $a = -6$ en la expresión original $g(x) = x^3 + ax^2 + b$: $$2^3 + (-6) \cdot 2^2 + b = 5$$ $$8 - 24 + b = 5$$ $$-16 + b = 5$$ $$b = 5 + 16 = 21$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -6, \quad b = 21}$$