Probabilidad condicionada e inferencia estadística

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de botas?** Primero definimos los sucesos del problema: - $B$: El par escogido es de botas. - $S$: El par escogido es de sandalias. - $D$: El par es defectuoso. - $\bar{D}$: El par no es defectuoso (no defectuoso). Según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades: - $P(B) = \dfrac{7}{12}$ - $P(S) = \dfrac{5}{12}$ - $P(D|B) = 0.08 \implies P(\bar{D}|B) = 1 - 0.08 = 0.92$ - $P(D|S) = 0.03 \implies P(\bar{D}|S) = 1 - 0.03 = 0.97$ Representamos la situación en un árbol de probabilidades:

Nos piden la probabilidad de que sea bota habiendo resultado ser no defectuoso, es decir, una probabilidad condicionada $P(B|\bar{D})$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**. Primero, calculamos la probabilidad total de que un par no sea defectuoso $P(\bar{D})$: $$P(\bar{D}) = P(B) \cdot P(\bar{D}|B) + P(S) \cdot P(\bar{D}|S)$$ $$P(\bar{D}) = \left(\frac{7}{12} \cdot 0.92\right) + \left(\frac{5}{12} \cdot 0.97\right)$$ $$P(\bar{D}) = \frac{6.44}{12} + \frac{4.85}{12} = \frac{11.29}{12} \approx 0.9408$$ Ahora aplicamos Bayes para el apartado a): $$P(B|\bar{D}) = \frac{P(B \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{\frac{7}{12} \cdot 0.92}{\frac{11.29}{12}} = \frac{6.44}{11.29} \approx 0.5704$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|\bar{D}) \approx 0.5704}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya escogido un par de sandalias?** Dado que solo se producen botas o sandalias, y ya sabemos que el par es no defectuoso, la probabilidad de que sea sandalia es el suceso complementario a que sea bota (dentro del espacio de los no defectuosos): $$P(S|\bar{D}) = 1 - P(B|\bar{D})$$ $$P(S|\bar{D}) = 1 - \frac{6.44}{11.29} = \frac{11.29 - 6.44}{11.29} = \frac{4.85}{11.29} \approx 0.4296$$ También podríamos haberlo calculado directamente con la fórmula de Bayes: $$P(S|\bar{D}) = \frac{P(S \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{\frac{5}{12} \cdot 0.97}{\frac{11.29}{12}} = \frac{4.85}{11.29} \approx 0.4296$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|\bar{D}) \approx 0.4296}$$

**Parte II a) (1 punto) A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 175 g. Halle un intervalo de confianza, al 90%, para la media del consumo.** Identificamos los parámetros de la distribución Normal: - Varianza $\sigma^2 = 225 \implies \text{Desviación típica } \sigma = \sqrt{225} = 15 \text{ g}$. - Tamaño de muestra $n = 25$. - Media muestral $\bar{x} = 175 \text{ g}$. - Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.90$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: Si $1 - \alpha = 0.90$, entonces $\alpha = 0.10$ y $\alpha/2 = 0.05$. Buscamos en la tabla de la Normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. Mirando las tablas, para una probabilidad de $0.95$, el valor es **$z_{\alpha/2} = 1.645$**. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza se calcula como $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$. Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.645 \cdot \frac{15}{\sqrt{25}} = 1.645 \cdot \frac{15}{5} = 1.645 \cdot 3 = 4.935$$ El intervalo es: $$I.C. = (175 - 4.935, 175 + 4.935) = (170.065, 179.935)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = [170.065, 179.935]}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 95%, tenga una amplitud máxima de 5?** Datos para este apartado: - Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$. - Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975$. En las tablas: **$z_{\alpha/2} = 1.96$**. - La amplitud del intervalo es $A = 2E$. Si la amplitud máxima debe ser $5$, el error máximo debe ser $E = \frac{5}{2} = 2.5$. Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 2.5 = 1.96 \cdot \frac{15}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 15}{2.5} = \frac{29.4}{2.5} = 11.76$$ Elevemos al cuadrado: $$n = (11.76)^2 = 138.2976$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el mínimo para cumplir la restricción, redondeamos siempre al alza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 139}$$