Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Obtener un intervalo de confianza al 98% de confianza para el consumo medio diario de agua por persona.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 25$ - Media muestral: $\bar{x} = 115$ litros - Desviación típica (poblacional o de la muestra grande): $\sigma = 18$ litros - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$ (lo que implica un $98\%$) Como queremos calcular un intervalo de confianza para la media de una población normal (o con muestra suficiente), utilizaremos la fórmula: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza se construye restando y sumando el **error máximo admisible** a la media de la muestra.

Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0,98$, entonces $\alpha = 0,02$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0,01$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal $N(0,1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$$ Buscando en la tabla de la distribución normal el valor más cercano a $0,9900$, encontramos que corresponde a: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,33}$$ (Nota: Si se usa interpolación o valores más precisos, podría ser $2,326$, pero $2,33$ es el estándar en Bachillerato). 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central. Para encontrar el valor en la tabla, siempre sumamos la confianza más una de las colas: $0,98 + 0,01 = 0,99$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,33 \cdot \frac{18}{\sqrt{25}} = 2,33 \cdot \frac{18}{5}$$ $$E = 2,33 \cdot 3,6 = 8,388$$ Ahora construimos el intervalo restando y sumando este error a la media $\bar{x} = 115$: - Límite inferior: $115 - 8,388 = 106,612$ - Límite superior: $115 + 8,388 = 123,388$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (106,612; \, 123,388)}$$

**b) Con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el consumo medio diario de agua por persona con un error menor de 5 litros?** En este apartado cambian las condiciones: - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ - Error máximo permitido: $E \lt 5$ - Desviación típica: $\sigma = 18$ - El tamaño de la muestra $n$ es nuestra incógnita. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Despejando $n$ obtenemos: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Para un nivel de confianza del $99\%$: 1. $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$. 2. $\alpha/2 = 0,005$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. En las tablas, el valor $0,995$ está exactamente entre $2,57$ y $2,58$, por lo que tomamos: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ Sustituimos en la fórmula de $n$: $$n \gt \left( \frac{2,575 \cdot 18}{5} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{46,35}{5} \right)^2 = (9,27)^2$$ $$n \gt 85,9329$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que $5$, debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo (ej. ,1), siempre redondeamos al siguiente número entero para garantizar que el error sea menor al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 86 \text{ personas}}$$