Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la proporción

**a) ¿Cuál es la proporción muestral de habitantes de esa comunidad que tienen ordenador portátil? ¿Cuál es el tamaño de la muestra?** Para resolver este problema, primero debemos identificar los datos que nos proporciona el enunciado y determinar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza. 1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.95$, lo que implica que $\alpha = 0.05$. 2. Repartimos esta probabilidad de error en las dos colas de la distribución normal: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Consultando la tabla: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor $1.96$ es el valor crítico más común en estadística, ya que corresponde al $95\%$ de confianza. Es muy útil memorizarlo para ahorrar tiempo.

El intervalo de confianza para una proporción tiene la forma $[\hat{p} - E, \hat{p} + E]$, donde $\hat{p}$ es la proporción muestral y $E$ es el error máximo admisible. Sabemos que la proporción muestral $\hat{p}$ es el punto medio del intervalo dado $[0.1804, 0.2196]$. Lo calculamos haciendo la media aritmética de los extremos: $$\hat{p} = \frac{0.1804 + 0.2196}{2} = \frac{0.4000}{2} = 0.2$$ 💡 **Tip:** En cualquier intervalo de confianza simétrico (como los de la media o proporción), el estimador puntual (en este caso $\hat{p}$) siempre está justo en el centro. ✅ **Resultado (proporción muestral):** $$\boxed{\hat{p} = 0.2}$$

Ahora que conocemos la proporción muestral, podemos calcular el error $E$ y, a partir de él, el tamaño de la muestra $n$. El error $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{0.2196 - 0.1804}{2} = \frac{0.0392}{2} = 0.0196$$ Utilizamos la fórmula del error para la proporción: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos ($E = 0.0196$, $z_{\alpha/2} = 1.96$, $\hat{p} = 0.2$): $$0.0196 = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.2 \cdot (1 - 0.2)}{n}}$$ $$0.0196 = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.2 \cdot 0.8}{n}}$$ Dividimos entre $1.96$ en ambos lados: $$\frac{0.0196}{1.96} = \sqrt{\frac{0.16}{n}} \implies 0.01 = \sqrt{\frac{0.16}{n}}$$ Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz: $$(0.01)^2 = \frac{0.16}{n} \implies 0.0001 = \frac{0.16}{n}$$ Despejamos $n$: $$n = \frac{0.16}{0.0001} = 1600$$ ✅ **Resultado (tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 1600}$$

**b) ¿Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporción, con una confianza del 95%, con un error máximo de 0.01?** En este apartado, se nos pide un nuevo tamaño de muestra $n$ bajo las siguientes condiciones: - Confianza del $95\%$ $\implies z_{\alpha/2} = 1.96$ - Error máximo $E = 0.01$ - Usamos la proporción muestral obtenida anteriormente $\hat{p} = 0.2$ Sustituimos en la fórmula de $n$ despejada: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{E^2}$$ $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.2 \cdot 0.8}{(0.01)^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.16}{0.0001} = \frac{0.614656}{0.0001} = 6146.56$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.01$, siempre debemos redondear hacia arriba al entero más cercano. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre sumamos $1$ a la parte entera para asegurar que el error sea menor o igual al solicitado. ✅ **Resultado (nuevo tamaño muestral):** $$\boxed{n = 6147}$$