Cálculo de superficie y valoración económica de una parcela

**a) Representar la parcela.** Para representar la parcela, primero debemos encontrar dónde se cortan las dos carreteras, es decir, igualar las funciones $f(x)$ y $g(x)$: $$-x^2 + 9x - 8 = 2x - 2$$ Pasamos todos los términos a un lado para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + 7x - 6 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar la resolución: $x^2 - 7x + 6 = 0$. Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2}$$ Obtenemos los valores de $x$: - $x_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6$ - $x_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1$ Calculamos las ordenadas sustituyendo en $g(x) = 2x - 2$: - Para $x=1 \implies g(1) = 2(1) - 2 = 0$. Punto: $(1, 0)$ - Para $x=6 \implies g(6) = 2(6) - 2 = 10$. Punto: $(6, 10)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para calcular el área más adelante.

**b) ¿Qué superficie tiene la parcela?** La superficie de la parcela es el área encerrada entre la parábola $f(x)$ y la recta $g(x)$. En el intervalo $[1, 6]$, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$. El área $A$ se calcula mediante la integral definida: $$A = \int_{1}^{6} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{1}^{6} [(-x^2 + 9x - 8) - (2x - 2)] \, dx$$ $$A = \int_{1}^{6} (-x^2 + 7x - 6) \, dx$$ 💡 **Tip:** Para saber qué función va arriba, puedes evaluar un punto intermedio, por ejemplo $x=2$: $f(2)=6$ y $g(2)=2$. Como $6 > 2$, la parábola es el "techo".

Calculamos la primitiva de la función: $$F(x) = \int (-x^2 + 7x - 6) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 6x$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $1$ y $6$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 6x \right]_{1}^{6}$$ Evaluamos en $x=6$: $$F(6) = -\frac{6^3}{3} + \frac{7 \cdot 6^2}{2} - 6 \cdot 6 = -\frac{216}{3} + \frac{252}{2} - 36 = -72 + 126 - 36 = 18$$ Evaluamos en $x=1$: $$F(1) = -\frac{1^3}{3} + \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 6 = \frac{-2 + 21 - 36}{6} = -\frac{17}{6}$$ Restamos los resultados: $$A = 18 - \left( -\frac{17}{6} \right) = 18 + \frac{17}{6} = \frac{108 + 17}{6} = \frac{125}{6} \approx 20,833 \text{ dam}^2$$ ✅ **Resultado (superficie):** $$\boxed{\text{Superficie} = 20,833 \text{ dam}^2}$$

**a) Si el 70% de la superficie de la parcela se vende como suelo urbano a 500€ el metro cuadrado, el 20% se tiene que donar al ayuntamiento y el resto se vende como suelo rústico a 45€ el metro cuadrado, ¿cuál es el valor de la parcela?** Primero, pasamos la superficie de decámetros cuadrados (dam²) a metros cuadrados (m²). Como $1 \text{ dam} = 10 \text{ m}$, entonces $1 \text{ dam}^2 = 100 \text{ m}^2$. $$A = \frac{125}{6} \cdot 100 = \frac{12500}{6} \approx 2083,33 \text{ m}^2$$ Calculamos la distribución de la superficie: - **Suelo urbano (70%):** $0,70 \cdot 2083,33 = 1458,33 \text{ m}^2$ - **Donación (20%):** No genera ingresos. - **Suelo rústico (Resto: 10%):** $0,10 \cdot 2083,33 = 208,33 \text{ m}^2$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de los porcentajes debe ser 100%. $70\% + 20\% + 10\% = 100\%$.

Calculamos el valor económico de cada parte: - **Valor suelo urbano:** $1458,33 \text{ m}^2 \cdot 500 \text{ €/m}^2 = 729165 \text{ €}$ - **Valor suelo rústico:** $208,33 \text{ m}^2 \cdot 45 \text{ €/m}^2 = 9374,85 \text{ €}$ Sumamos ambas cantidades para obtener el valor total: $$\text{Valor Total} = 729165 + 9374,85 = 738539,85 \text{ €}$$ *(Nota: Si usamos la fracción exacta $\frac{12500}{6}$ para evitar errores de redondeo:)* $$\text{Valor} = \left( \frac{12500}{6} \cdot 0,7 \cdot 500 \right) + \left( \frac{12500}{6} \cdot 0,1 \cdot 45 \right)$$ $$\text{Valor} = 729166,67 + 9375 = 738541,67 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (valor de la parcela):** $$\boxed{\text{Valor} = 738541,67 \text{ €}}$$