Optimización del área de un panel triangular

**a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros lados para que su área sea máxima.** Empezamos dibujando el triángulo rectángulo y definiendo las variables para los catetos: - Sea $x$ la longitud de la base (un cateto). - Sea $y$ la longitud de la altura (el otro cateto). Sabemos que la hipotenusa mide $5$ metros. Por el **Teorema de Pitágoras**, la relación entre los lados es: $$x^2 + y^2 = 5^2 \implies x^2 + y^2 = 25$$ Despejamos una variable (por ejemplo, la $y$) en función de la otra para poder trabajar con una sola variable más adelante: $$y = \sqrt{25 - x^2}$$ Como estamos tratando con longitudes físicas, el dominio de la variable $x$ debe ser $0 \lt x \lt 5$. 💡 **Tip:** Recuerda que en un triángulo rectángulo, los catetos son los lados que forman el ángulo de $90^\circ$ y la hipotenusa es el lado opuesto.

El objetivo es maximizar el área del triángulo. La fórmula del área de un triángulo rectángulo es: $$A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{x \cdot y}{2}$$ Sustituimos el valor de $y$ que despejamos anteriormente para obtener la función área $A(x)$: $$A(x) = \frac{x \sqrt{25 - x^2}}{2} = \frac{1}{2} x (25 - x^2)^{1/2}$$ 💡 **Tip:** Para derivar más fácilmente, a veces es útil meter la $x$ dentro de la raíz: $A(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2(25 - x^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{25x^2 - x^4}$.

Para hallar el máximo, derivamos la función $A(x)$ respecto de $x$. Usaremos la expresión $A(x) = \frac{1}{2} (25x^2 - x^4)^{1/2}$ y la regla de la cadena: $$A'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{25x^2 - x^4}} \cdot (50x - 4x^3)$$ $$A'(x) = \frac{50x - 4x^3}{4\sqrt{25x^2 - x^4}} = \frac{2x(25 - 2x^2)}{4x\sqrt{25 - x^2}}$$ Simplificando la $x$ (ya que $x \neq 0$): $$A'(x) = \frac{25 - 2x^2}{2\sqrt{25 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Para optimizar una función que tiene una raíz cuadrada positiva, basta con optimizar lo que hay dentro de la raíz (el radicando), ya que la raíz es una función creciente.

Buscamos los puntos donde la derivada es igual a cero: $$A'(x) = 0 \implies 25 - 2x^2 = 0$$ $$2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2} = 12,5$$ $$x = \sqrt{12,5} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3,536 \text{ metros}$$ Tomamos solo la solución positiva porque $x$ representa una longitud.

Estudiamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x = \sqrt{12,5}$ para confirmar que es un máximo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{12,5}) & \sqrt{12,5} & (\sqrt{12,5}, 5) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ - Si $x=1 \in (0, \sqrt{12,5})$, $A'(1) = \frac{25-2}{2\sqrt{24}} \gt 0$ (la función crece). - Si $x=4 \in (\sqrt{12,5}, 5)$, $A'(4) = \frac{25-32}{2\sqrt{9}} \lt 0$ (la función decrece). Al pasar de crecer a decrecer, en **$x = \sqrt{12,5}$ hay un máximo relativo**.

Ya tenemos $x = \sqrt{12,5}$. Calculamos el otro cateto $y$: $$y = \sqrt{25 - x^2} = \sqrt{25 - 12,5} = \sqrt{12,5} \approx 3,536 \text{ metros}$$ El área máxima se da cuando el triángulo es isósceles (ambos catetos iguales). ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{Los catetos deben medir } x = \sqrt{12,5} \approx 3,536 \text{ m e } y = \sqrt{12,5} \approx 3,536 \text{ m}}$$

**b) Si el panel se fabrica con chapa que cuesta 10 euros el metro cuadrado, ¿cuánto costará?** Primero calculamos el valor del área máxima utilizando las dimensiones halladas: $$A_{máx} = \frac{x \cdot y}{2} = \frac{\sqrt{12,5} \cdot \sqrt{12,5}}{2} = \frac{12,5}{2} = 6,25 \text{ m}^2$$ Ahora calculamos el coste total multiplicando la superficie por el precio por metro cuadrado: $$\text{Coste} = \text{Área} \cdot \text{Precio} = 6,25 \text{ m}^2 \cdot 10 \text{ €/m}^2 = 62,50 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{El coste del panel será de } 62,50 \text{ €}}$$