Sistema de ecuaciones: facturas del hogar

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan el coste de cada factura en euros (€): - $x$: importe de la factura del **agua**. - $y$: importe de la factura de la **luz**. - $z$: importe de la factura del **teléfono**. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. El total de las tres facturas es 140 €: $$x + y + z = 140$$ 2. De agua se pagó la tercera parte que de luz: $$x = \frac{y}{3} \implies 3x - y = 0$$ 3. La factura del teléfono fue el 45% del total: $$z = 0,45 \cdot 140$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, es fundamental definir claramente qué representa cada letra y sus unidades (en este caso, euros).

Agrupando las ecuaciones obtenidas, el sistema que modela el problema es: $$\begin{cases} x + y + z = 140 \\ 3x - y = 0 \\ z = 0,45 \cdot 140 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 140 \\ 3x - y = 0 \\ z = 63 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuánto se pagó en cada factura?** Comenzamos calculando el valor de $z$ (teléfono), ya que es una cantidad fija respecto al total de 140 €: $$z = 0,45 \cdot 140 = 63 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos dicha cantidad por el porcentaje expresado en forma decimal ($45\% = 0,45$).

Ahora sustituimos el valor de $z = 63$ en la primera ecuación y utilizamos la relación entre $x$ e $y$: Sustituyendo $z$ en $x + y + z = 140$: $$x + y + 63 = 140 \implies x + y = 140 - 63 \implies x + y = 77$$ De la segunda ecuación sabemos que $y = 3x$. Sustituimos esta expresión en la ecuación anterior: $$x + (3x) = 77$$ $$4x = 77$$ $$x = \frac{77}{4} = 19,25 \text{ €}$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 3 \cdot 19,25 = 57,75 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** En sistemas donde una variable ya está despejada o es fácil de aislar, el método de sustitución suele ser el más rápido y directo.

Comprobamos que la suma de las tres facturas es correcta: $$19,25 + 57,75 + 63 = 77 + 63 = 140 \text{ €}$$ Los importes pagados son: - Factura del agua ($x$): **19,25 €** - Factura de la luz ($y$): **57,75 €** - Factura del teléfono ($z$): **63,00 €** ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Agua: 19,25 €; Luz: 57,75 €; Teléfono: 63 €}}$$