Contraste de hipótesis para la proporción

**a) Con una significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa?** Primero, definimos el parámetro objeto de estudio y las hipótesis del contraste. Sea $p$ la proporción de envíos que llegan a su destino al día siguiente. La empresa afirma que $p \ge 0.70$. Esto constituirá nuestra hipótesis nula (la que queremos contrastar), y la alternativa será que la proporción es inferior. - **Hipótesis nula:** $H_0: p \ge 0.70$ (La afirmación de la empresa es cierta). - **Hipótesis alternativa:** $H_1: p \lt 0.70$ (La proporción es menor de lo afirmado). Se trata de un **contraste unilateral de una cola a la izquierda**, ya que la duda recae en si la proporción es menor que la publicitada. 💡 **Tip:** La hipótesis nula $H_0$ siempre contiene el signo de igualdad ($=, \le, \ge$).

A partir del enunciado, identificamos los datos de la muestra seleccionada por la asociación de consumidores: - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Envíos que NO llegaron a tiempo: $39$. - Envíos que SÍ llegaron al día siguiente: $100 - 39 = 61$. Calculamos la **proporción muestral** ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{61}{100} = 0.61.$$ La proporción poblacional bajo la suposición de que $H_0$ es cierta es $p_0 = 0.70$. Por tanto, $q_0 = 1 - p_0 = 0.30$.

Para muestras grandes ($n \ge 30$), el estadístico de contraste para una proporción sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.61 - 0.70}{\sqrt{\dfrac{0.70 \cdot 0.30}{100}}} = \frac{-0.09}{\sqrt{\dfrac{0.21}{100}}} = \frac{-0.09}{\sqrt{0.0021}}$$ $$Z \approx \frac{-0.09}{0.0458} \approx -1.965.$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste mide cuántas desviaciones típicas se aleja nuestro valor observado (la muestra) del valor teórico propuesto en $H_0$. $$\boxed{Z_{obs} \approx -1.965}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ (1%) en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $p(Z \le -z_{\alpha}) = 0.01$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $p(Z \le z_{\alpha}) = 0.99$. El valor correspondiente es: $$z_{0.01} = 2.33 \implies \text{Valor crítico} = -2.33.$$ La **región de rechazo** (o crítica) es $(-\infty, -2.33)$. Como nuestro estadístico $Z_{obs} = -1.965$ **no pertenece** a la región de rechazo (ya que $-1.965 \gt -2.33$), no tenemos evidencia suficiente para rechazar $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con } \alpha=0.01, \text{ se acepta la afirmación de la empresa.}}$$

**b) ¿Se concluiría lo mismo con un nivel de significación del 8%?** Cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.08$. Buscamos el nuevo valor crítico $-z_{0.08}$ tal que $p(Z \le -z_{0.08}) = 0.08$. Esto equivale a buscar en la tabla el valor para el cual la probabilidad acumulada es $1 - 0.08 = 0.92$. - Mirando la tabla de la $N(0,1)$, para una probabilidad de $0.9192$ tenemos $z=1.40$ y para $0.9207$ tenemos $z=1.41$. Usaremos **$z_{0.08} \approx 1.41$**. La nueva **región de rechazo** es $(-\infty, -1.41)$. En este caso, como $Z_{obs} = -1.965$ **sí pertenece** a la región de rechazo (ya que $-1.965 \lt -1.41$), debemos rechazar la hipótesis nula. 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de significación (de 1% a 8%), somos "más estrictos" y es más probable que rechacemos la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, con } \alpha=0.08, \text{ se rechaza la afirmación de la empresa.}}$$