Inferencia estadística: Proporciones y tamaño muestral

**a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio con una confianza del 97%?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $400$ viviendas. - Número de viviendas que contratarían ($x$): $140$. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{140}{400} = 0.35$$ Por tanto, la proporción de viviendas que no contratarían (el complementario) es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.35 = 0.65$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p}$ representa el éxito (en este caso, contratar) y $\hat{q}$ el fracaso, cumpliéndose siempre que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $97\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. 1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.97$. 2. El nivel de significación es $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$. 3. Calculamos $\alpha/2 = 0.015$. 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.9850$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si no encuentras el valor exacto en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación si tu profesor lo requiere, aunque $2.17$ es exacto para $0.985$.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \, , \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.35 \cdot 0.65}{400}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.2275}{400}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.00056875}$$ $$E \approx 2.17 \cdot 0.023848 \approx 0.05175$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.35 - 0.05175 \, , \, 0.35 + 0.05175)$$ $$I.C. = (0.29825 \, , \, 0.40175)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (0.2983 \, , \, 0.4018)}$$ *(Redondeando a cuatro decimales)*

**b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de viviendas que contratarían su servicio, con un error menor del 2% y con una confianza del 95%?** Para este apartado, cambian las condiciones: - Error máximo admisible ($E$): $2\% = 0.02$. - Nivel de confianza ($1 - \alpha$): $95\% = 0.95$. - Proporción estimada (usamos la del apartado anterior): $\hat{p} = 0.35$ y $\hat{q} = 0.65$. 💡 **Tip:** Si no nos dieran información previa sobre la proporción, usaríamos el caso más desfavorable $\hat{p} = 0.5$ para maximizar el tamaño de la muestra, pero aquí aprovechamos la información de la encuesta inicial.

Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para una confianza del $95\%$: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. En la tabla de la Normal estándar, el valor para $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $1.96$ para el $95\%$ es uno de los más comunes en estadística; es muy útil memorizarlo.

A partir de la fórmula del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$, despejamos el tamaño muestral $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.35 \cdot 0.65}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.2275}{0.0004}$$ $$n = \frac{0.873964}{0.0004} = 2184.91$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **menor** al estipulado, siempre debemos redondear hacia arriba al entero más cercano. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 2185 \text{ viviendas}}$$