Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la media

**a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana dedicadas al estudio?** El intervalo de confianza para la media poblacional, cuando se conoce o se estima la desviación típica, tiene la forma: $$IC = [\bar{x} - E, \bar{x} + E]$$ donde $\bar{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo admisible. Debido a la simetría del intervalo, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el punto medio del intervalo $[32, 40]$. Calculamos el valor medio: $$\bar{x} = \frac{32 + 40}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cualquier intervalo de confianza para la media, la media muestral siempre es el centro del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 36 \text{ horas}}$$

**b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 99%?** Para calcular un nuevo intervalo al $99\%$, primero necesitamos obtener la desviación típica ($\sigma$) a partir de los datos del intervalo al $95\%$. Datos conocidos: - Tamaño muestral: $n = 25$ - Intervalo $95\%$: $[32, 40] \implies$ Error $E = 40 - 36 = 4$ - Nivel de confianza $0.95$: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$ en la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.05}{2} = 0.975 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$$ Utilizamos la fórmula del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ para despejar $\sigma$: $$4 = 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{25}} \implies 4 = 1.96 \cdot \frac{\sigma}{5}$$ $$20 = 1.96 \cdot \sigma \implies \sigma = \frac{20}{1.96} \approx 10.204$$ $$\boxed{\sigma \approx 10.204}$$

Ahora calculamos el nuevo error $E'$ para un nivel de confianza del $99\%$ ($1-\alpha = 0.99$). Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$$ Mirando en la tabla $N(0, 1)$, el valor más cercano es $z_{\alpha/2} = 2.575$. Calculamos el nuevo error $E'$: $$E' = 2.575 \cdot \frac{10.204}{\sqrt{25}} = 2.575 \cdot \frac{10.204}{5} = 2.575 \cdot 2.0408 \approx 5.255$$ El nuevo intervalo será: $$IC_{99\%} = [36 - 5.255, 36 + 5.255] = [30.745, 41.255]$$ 💡 **Tip:** A mayor nivel de confianza, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ aumenta y, por tanto, la amplitud del intervalo también es mayor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{99\%} = [30.745, 41.255]}$$

**c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, $[34,38]$), ¿qué nivel de confianza tendremos en este intervalo?** Si el nuevo intervalo es $[34, 38]$, el nuevo error es: $$E'' = 38 - 36 = 2$$ Queremos hallar el nivel de confianza $1-\alpha$. Usamos la fórmula del error con los datos conocidos ($n=25$, $\sigma=10.204$): $$E'' = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 2 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{10.204}{5}$$ $$2 = z_{\alpha/2} \cdot 2.0408 \implies z_{\alpha/2} = \frac{2}{2.0408} \approx 0.98$$ Ahora buscamos la probabilidad asociada a $z = 0.98$ en la tabla de la Normal estándar: $$P(Z \le 0.98) = 0.8365$$ Sabemos que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$. Por tanto: $$0.8365 = 1 - \frac{\alpha}{2} \implies \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.8365 = 0.1635$$ $$\alpha = 0.1635 \cdot 2 = 0.327$$ El nivel de confianza es $1 - \alpha$: $$1 - 0.327 = 0.673$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del $67.3\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza} = 67.3\%}$$