Optimización de beneficios en la producción de juguetes

**a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos.** El ingreso $I(x)$ se calcula multiplicando el precio de venta de cada unidad por el número de unidades vendidas ($x$). Dado que el enunciado indica que cada juguete se vende a 50€, la función de ingresos es: $$I(x) = 50 \cdot x$$ 💡 **Tip:** El ingreso siempre representa el dinero total que entra en caja antes de descontar los gastos. Se define como $I(x) = ext{Precio} \cdot ext{Cantidad}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I(x) = 50x}$$

**b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación.** La función de beneficio $B(x)$ se define como los ingresos totales menos los costes totales de fabricación: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ Sustituimos las expresiones de $I(x)$ y $C(x)$: $$B(x) = 50x - (10x^2 - 1850x + 25000)$$ Ahora, quitamos el paréntesis (cambiando los signos del interior) y agrupamos términos: $$B(x) = 50x - 10x^2 + 1850x - 25000$$ $$B(x) = -10x^2 + (50 + 1850)x - 25000$$ $$B(x) = -10x^2 + 1900x - 25000$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el signo menos delante del paréntesis de la función de costes; afecta a todos los términos de la expresión $C(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(x) = -10x^2 + 1900x - 25000}$$

**c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?** Para encontrar el máximo de la función de beneficios, debemos calcular su primera derivada $B'(x)$ e igualarla a cero. Derivamos la función $B(x) = -10x^2 + 1900x - 25000$: $$B'(x) = -10(2x) + 1900 - 0$$ $$B'(x) = -20x + 1900$$ Ahora buscamos el punto crítico resolviendo $B'(x) = 0$: $$-20x + 1900 = 0$$ $$-20x = -1900$$ $$x = \frac{-1900}{-20} = 95$$ El valor crítico es **$x = 95$** juguetes. 💡 **Tip:** En optimización, los máximos y mínimos relativos se encuentran en los puntos donde la pendiente de la recta tangente (la derivada) es igual a cero.

Para asegurar que en $x = 95$ hay un máximo y no un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada a ambos lados del punto: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 95) & 95 & (95, +\infty)\\ \hline B'(x) & + & 0 & -\\ \hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ - Para un valor como $x=1$: $B'(1) = -20(1) + 1900 = 1880 > 0$ (la función crece). - Para un valor como $x=100$: $B'(100) = -20(100) + 1900 = -100 < 0$ (la función decrece). Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=95$, confirmamos que hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada: $B''(x) = -20$. Como $B''(95) = -20 < 0$, la función es cóncava hacia abajo y el punto es un máximo.

Finalmente, calculamos el valor del beneficio máximo sustituyendo $x = 95$ en la función original $B(x)$: $$B(95) = -10(95)^2 + 1900(95) - 25000$$ $$B(95) = -10(9025) + 180500 - 25000$$ $$B(95) = -90250 + 180500 - 25000$$ $$B(95) = 65250$$ ✅ **Resultado final:** Para maximizar los beneficios se deben fabricar **95 juguetes**, y el beneficio ascenderá a **65.250€**. $$\boxed{x = 95 \text{ juguetes, } B(95) = 65.250\text{ €}}$$