Optimización de ingresos en un servicio técnico

**a) Plantear el problema que maximiza los ingresos anuales y representar gráficamente el conjunto de soluciones posibles.** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema basadas en las cantidades que queremos determinar: - $x$: número de empresas clientes. - $y$: número de particulares clientes. A continuación, traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas (restricciones): 1. **Mínimo de empresas:** "al menos a 20 empresas" $$x \ge 20$$ 2. **Mínimo de particulares:** "el número de clientes particulares... como mínimo debe ser el doble que el número de empresas" $$y \ge 2x$$ 3. **Límite global de clientes:** "límite global de 90 clientes anuales" $$x + y \le 90$$ 4. **Condiciones de no negatividad:** Aunque $x \ge 20$ ya implica que son positivos, recordamos que el número de clientes no puede ser negativo: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre empieza definiendo claramente qué representa cada variable para no confundir las restricciones.

La función objetivo representa lo que queremos maximizar, en este caso, los ingresos anuales totales ($I$). Si cada empresa genera $280\text{ €}$ y cada particular $170\text{ €}$, la función es: $$f(x, y) = 280x + 170y$$ El problema consiste en maximizar esta función sujeta a las restricciones anteriores: $$\text{Maximizar } f(x, y) = 280x + 170y$$ $$\text{Sujeto a: } \begin{cases} x \ge 20 \\ y \ge 2x \\ x + y \le 90 \end{cases}$$ ✅ **Planteamiento:** $$\boxed{\text{Max } f(x, y) = 280x + 170y, \text{ s.a. } \{x \ge 20, y \ge 2x, x+y \le 90\}}$$

Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumplen: 1. **Recta $r_1: x = 20$**: Recta vertical que pasa por $x=20$. La solución está a su derecha ($x \ge 20$). 2. **Recta $r_2: y = 2x$**: Recta que pasa por $(0,0)$ y $(30, 60)$. Probando un punto como $(20, 50)$, vemos que $50 \ge 2(20)$ es cierto, luego la región está por encima de la recta. 3. **Recta $r_3: x + y = 90$**: Recta que pasa por $(90, 0)$ y $(0, 90)$. Probando el origen $(0,0)$, $0+0 \le 90$ es cierto, luego la región está por debajo de la recta. La intersección de estos semiplanos forma un recinto cerrado (un triángulo).

Calculamos los puntos de intersección de las rectas para obtener los vértices del recinto: - **Vértice A** (Intersección $x=20$ e $y=2x$): $$x=20 \implies y=2(20)=40 \implies \mathbf{A(20, 40)}$$ - **Vértice B** (Intersección $x=20$ y $x+y=90$): $$x=20 \implies 20+y=90 \implies y=70 \implies \mathbf{B(20, 70)}$$ - **Vértice C** (Intersección $y=2x$ y $x+y=90$): Sustituimos $y$: $$x + (2x) = 90 \implies 3x = 90 \implies x=30$$ Calculamos $y$: $$y = 2(30) = 60 \implies \mathbf{C(30, 60)}$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los candidatos a ser la solución óptima del problema según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

**b) ¿Qué solución le proporcionaría los mayores ingresos anuales? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?** Evaluamos la función de ingresos $f(x, y) = 280x + 170y$ en cada vértice: - **En A(20, 40):** $$f(20, 40) = 280(20) + 170(40) = 5600 + 6800 = 12400\text{ €}$$ - **En B(20, 70):** $$f(20, 70) = 280(20) + 170(70) = 5600 + 11900 = 17500\text{ €}$$ - **En C(30, 60):** $$f(30, 60) = 280(30) + 170(60) = 8400 + 10200 = 18600\text{ €}$$ Comparando los valores, el ingreso máximo se obtiene en el punto $C$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La solución óptima es contratar } 30 \text{ empresas y } 60 \text{ particulares, obteniendo } 18600\text{ €}}$$