Contraste de hipótesis e intervalo de confianza para la proporción

**a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación inicial?** Primero, identificamos los datos del problema: - Proporción hipotética: $p_0 = 0.60$ - Tamaño de la muestra: $n = 441$ - Estudiantes que almuerzan en la muestra: $x = 220$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{220}{441} \approx 0.4989$ Planteamos las hipótesis. La afirmación dice "por lo menos el 60%" ($p \ge 0.60$), por lo que realizaremos un contraste unilateral a la izquierda: $$H_0: p \ge 0.60 \quad (\text{Afirmación inicial})$$ $$H_1: p < 0.60$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele contener el signo de igualdad ($=, \le, \ge$). Si los datos muestrales son muy inferiores al valor hipotético, rechazaremos la afirmación.

Bajo la hipótesis nula, el estadístico de contraste sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$: $$z_{calc} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$z_{calc} = \frac{0.4989 - 0.60}{\sqrt{\frac{0.60 \cdot 0.40}{441}}} = \frac{-0.1011}{\sqrt{\frac{0.24}{441}}} = \frac{-0.1011}{\frac{0.4899}{21}} = \frac{-0.1011}{0.0233} \approx -4.339$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para proporciones usamos la desviación típica de la población bajo el supuesto de que $H_0$ es cierta: $\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z < -z_{\alpha}) = 0.01$. Consultando la tabla de la normal estándar: $$P(Z < z_c) = 0.01 \implies z_c \approx -2.33$$ La **región de rechazo** es el intervalo $(-\infty, -2.33]$. Comparamos nuestro estadístico calculado: $$-4.339 < -2.33$$ Como el valor cae dentro de la región de rechazo, **rechazamos la hipótesis nula $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación inicial con un nivel de significación del 1%}}$$

**b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para la proporción poblacional de estudiantes que almuerzan en el comedor de la Facultad.** Para el intervalo de confianza, usamos el nivel de confianza $1 - \alpha = 0.95$. Calculamos $\alpha = 0.05$ y $\frac{\alpha}{2} = 0.025$. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. En las tablas de la normal: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El valor $z_{\alpha/2} = 1.96$ es el más habitual para el nivel de confianza del 95%.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.4989 \cdot (1 - 0.4989)}{441}} = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.4989 \cdot 0.5011}{441}}$$ $$E = 1.96 \cdot \frac{0.4999}{21} = 1.96 \cdot 0.0238 \approx 0.0466$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.4989 - 0.0466 = 0.4523$ - Extremo superior: $0.4989 + 0.0466 = 0.5455$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.4523, \, 0.5455)}$$ Esto significa que, con un 95% de confianza, la proporción real de estudiantes que almuerzan en el comedor está entre el **45.23% y el 54.55%**.