Intervalos de confianza y tamaño muestral

**a) ¿Cuál es el gasto mensual medio muestral?** En un intervalo de confianza para la media, la media muestral $\bar{x}$ coincide exactamente con el punto medio del intervalo. Esto se debe a que el intervalo se construye sumando y restando el margen de error $E$ a la media: $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$. Por tanto, podemos calcular $\bar{x}$ como el promedio de los extremos del intervalo dado: $$\bar{x} = \frac{10.794 + 13.206}{2}$$ Sumamos los valores: $$10.794 + 13.206 = 24.000$$ Dividimos entre 2: $$\bar{x} = \frac{24}{2} = 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza es siempre simétrico respecto a la media muestral. Si conoces los extremos, la media es simplemente su centro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 12 \text{ euros}}$$

**b) ¿Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99%?** Primero, calculamos el error de estimación ($E$) cometido en el intervalo al 95%. El error es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E_{0.95} = \frac{13.206 - 10.794}{2} = \frac{2.412}{2} = 1.206$$ Sabemos que la fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Para un nivel de confianza del 95%: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor $z_{0.025}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$: $$z_{0.025} = 1.96$$ Podemos despejar el valor del error estándar ($\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$): $$1.206 = 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.206}{1.96} \approx 0.615306$$

Para el nivel de confianza del 99%: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$. Buscamos $z_{0.005}$ tal que $P(Z \le z_{0.005}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Mirando la tabla: $$z_{0.005} = 2.575$$ Calculamos el nuevo error $E_{0.99}$ usando el error estándar hallado anteriormente: $$E_{0.99} = z_{0.005} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot 0.615306 \approx 1.5844$$ El intervalo será $[\bar{x} - E_{0.99}, \bar{x} + E_{0.99}]$: $$IC_{0.99} = [12 - 1.5844, 12 + 1.5844] = [10.4156, 13.5844]$$ 💡 **Tip:** A mayor nivel de confianza, mayor es el valor crítico $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, más ancho es el intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{0.99} = [10.4156, 13.5844]}$$

**c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de 7.9989 euros, ¿cuál es el tamaño de la muestra encuestada?** Utilizamos los datos del apartado a) o b). Sabemos que el error al 95% es $E = 1.206$ con un $z_{\alpha/2} = 1.96$. Datos: - $\sigma = 7.9989$ - $E = 1.206$ - $z_{\alpha/2} = 1.96$ Sustituimos en la fórmula $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $$1.206 = 1.96 \cdot \frac{7.9989}{\sqrt{n}}$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 7.9989}{1.206}$$ $$\sqrt{n} = \frac{15.677844}{1.206} = 12.99987...$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = (12.99987...)^2 \approx 168.996$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y los cálculos aproximan casi perfectamente a 169: $$n = 169$$ 💡 **Tip:** En estos ejercicios, si el resultado no es entero exacto, siempre redondeamos al entero superior para garantizar el error máximo permitido, aunque aquí el valor es claramente 169. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 169 \text{ jóvenes}}$$