Evolución del precio de un producto

**a) Determinar si la función tiene máximo. Razonar la respuesta.** Para determinar si la función tiene un máximo, primero buscamos sus puntos críticos calculando la primera derivada $P'(x)$ e igualándola a cero. La función es $P(x) = - \frac{1}{3}x^2 + 20x + 375$. Derivamos término a término: $$P'(x) = - \frac{2}{3}x + 20$$ Igualamos a cero para hallar los candidatos a extremos relativos: $$- \frac{2}{3}x + 20 = 0 \implies - \frac{2}{3}x = -20$$ Multiplicamos por $-3$ en ambos lados: $$2x = 60 \implies x = 30$$ El punto crítico se encuentra a los **30 días**. 💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde la pendiente de la tangente es cero ($P'(x)=0$). Es un candidato a ser máximo o mínimo.

Para confirmar si en $x = 30$ hay un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada. Derivamos $P'(x) = - \frac{2}{3}x + 20$: $$P''(x) = - \frac{2}{3}$$ Como $P''(x)$ es constante y negativa ($P''(30) = - \frac{2}{3} \lt 0$), la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio, lo que confirma que en $x = 30$ existe un **máximo relativo**. Además, al ser una función cuadrática con coeficiente principal negativo, tiene forma de parábola invertida, por lo que este máximo es el **máximo absoluto** de la función. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{La función tiene un máximo en } x = 30 \text{ días}}$$

**b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto?** El precio es nulo cuando $P(x) = 0$. Debemos resolver la ecuación de segundo grado: $$- \frac{x^2}{3} + 20x + 375 = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por $-3$: $$x^2 - 60x - 1125 = 0$$ Aplicamos la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$x = \frac{60 \pm \sqrt{(-60)^2 - 4(1)(-1125)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 + 4500}}{2} = \frac{60 \pm \sqrt{8100}}{2}$$ $$x = \frac{60 \pm 90}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{60 + 90}{2} = \frac{150}{2} = 75$ 2. $x_2 = \frac{60 - 90}{2} = \frac{-30}{2} = -15$ Dado que $x$ representa el tiempo en días transcurridos desde la puesta en venta ($x \ge 0$), descartamos la solución negativa. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos validar si las soluciones matemáticas tienen sentido físico (como el tiempo no negativo). ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{El producto se retira a los } 75 \text{ días}}$$

**c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función.** Analizamos el signo de la primera derivada $P'(x) = - \frac{2}{3}x + 20$ en el intervalo de validez de la función, que es desde que se pone en venta ($x=0$) hasta que se retira ($x=75$). El punto crítico es $x=30$. Evaluamos el signo en los intervalos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 30) & 30 & (30, 75)\\\hline P'(x) & + & 0 & -\\\hline P(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** En $(0, 30)$, si tomamos $x=10$, $P'(10) = -\frac{20}{3} + 20 \gt 0$. La función crece. - **Decrecimiento:** En $(30, 75)$, si tomamos $x=60$, $P'(60) = -\frac{120}{3} + 20 = -40 + 20 = -20 \lt 0$. La función decrece. ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 30) \text{ y decreciente en } (30, 75)}$$