Área de una alfombra de flores y coste

**a) Representar la parte de la alfombra.** Para representar la región, primero identificamos las funciones que la limitan: - $f(x) = -x^2 + 4x + 3$: Es una parábola con las ramas hacia abajo (coeficiente de $x^2$ negativo). - $g(x) = 3$: Es una recta horizontal. Buscamos los **puntos de corte** entre ambas funciones igualándolas: $$-x^2 + 4x + 3 = 3$$ $$-x^2 + 4x = 0$$ Factoreamos la ecuación de segundo grado: $$x(-x + 4) = 0$$ Las soluciones son $x = 0$ y $x = 4$. Calculamos el vértice de la parábola para una mejor representación: $$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-1)} = 2$$ $$y_v = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 3 = -4 + 8 + 3 = 7$$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el siguiente apartado y los extremos de la alfombra en el eje $X$. Los puntos de intersección son **$(0, 3)$** y **$(4, 3)$**.

A continuación, representamos la parábola y la recta. La región de la alfombra es la superficie encerrada entre ambas gráficas.

**b) Calcular el área de la parte de la alfombra.** El área de la región comprendida entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior en el intervalo de sus puntos de corte. En el intervalo $[0, 4]$, la parábola $f(x)$ está por encima de la recta $g(x)$. Por tanto: $$Area = \int_{0}^{4} [f(x) - g(x)] \, dx$$ $$Area = \int_{0}^{4} [(-x^2 + 4x + 3) - 3] \, dx$$ $$Area = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe dar un resultado positivo. Si el orden de las funciones se invierte, el resultado saldría negativo.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (-x^2 + 4x) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$$ Ahora evaluamos en los límites $0$ y $4$: $$Area = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4}$$ $$Area = \left( -\frac{4^3}{3} + 2(4^2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2(0^2) \right)$$ $$Area = \left( -\frac{64}{3} + 32 \right) - 0$$ $$Area = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{Area = \frac{32}{3} \text{ m}^2 \approx 10,67 \text{ m}^2}$$

**c) Si cada rosa cuesta 0,3€, ¿cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?** Primero, debemos tener cuidado con las unidades. El área está en metros cuadrados ($m^2$), pero la densidad de flores se da en decímetros cuadrados ($dm^2$). Pasamos el área a $dm^2$: $$1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$$ $$S = \frac{32}{3} \text{ m}^2 \cdot 100 \frac{\text{ dm}^2}{\text{ m}^2} = \frac{3200}{3} \text{ dm}^2$$ Ahora calculamos el número de rosas sabiendo que hay $21$ rosas por cada $4 \text{ dm}^2$: $$\text{Nº rosas} = \frac{3200}{3} \text{ dm}^2 \cdot \frac{21 \text{ rosas}}{4 \text{ dm}^2}$$ $$\text{Nº rosas} = \frac{3200}{4} \cdot \frac{21}{3} = 800 \cdot 7 = 5600 \text{ rosas}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que las unidades coincidan antes de realizar operaciones de proporcionalidad o coste.

Finalmente, multiplicamos el número total de rosas por el precio unitario: $$\text{Coste} = \text{Número de rosas} \cdot \text{Precio por rosa}$$ $$\text{Coste} = 5600 \text{ rosas} \cdot 0,3 \text{ €/rosa}$$ $$\text{Coste} = 1680 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (Coste):** $$\boxed{\text{El coste total es de } 1680 \text{ €}}$$