Sistema de ecuaciones: Nacionalidades en un hotel

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema. Definimos las variables según las nacionalidades de los turistas: $x$: número de turistas ingleses $y$: número de turistas alemanes $z$: número de turistas franceses El enunciado nos dice que el total de turistas es 240, por lo que la primera ecuación es: $$x + y + z = 240$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable asignar letras claras a las incógnitas para no confundirlas durante el proceso de resolución.

Analizamos las otras dos condiciones del enunciado: 1. **Los franceses ($z$) son la tercera parte de la suma de alemanes ($y$) e ingleses ($x$):** $$z = \frac{x + y}{3}$$ Para facilitar el manejo del sistema, multiplicamos por 3 en ambos lados para eliminar el denominador: $$3z = x + y \implies x + y - 3z = 0$$ 2. **El 200% de los ingleses ($x$) igualan a la suma de alemanes ($y$) y franceses ($z$):** Recordamos que el 200% de una cantidad es el doble ($200/100 = 2$): $$2x = y + z \implies 2x - y - z = 0$$ 💡 **Tip:** El $200\%$ de $x$ se calcula como $\frac{200}{100} \cdot x = 2x$.

Agrupamos las tres ecuaciones obtenidas para formar el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 240 \quad (1) \\ x + y - 3z = 0 \quad (2) \\ 2x - y - z = 0 \quad (3) \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 240 \\ x + y - 3z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}}$$

**b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel.** Utilizaremos el método de reducción entre la ecuación (1) y la (2) para eliminar $x$ e $y$ y hallar $z$ directamente: Restamos la ecuación (2) a la ecuación (1): $$(x + y + z) - (x + y - 3z) = 240 - 0$$ $$x - x + y - y + z + 3z = 240$$ $$4z = 240$$ $$z = \frac{240}{4} = 60$$ 💡 **Tip:** Al observar que los coeficientes de $x$ e $y$ son iguales en las dos primeras ecuaciones, la resta es el camino más rápido para encontrar $z$.

Ahora sustituimos $z = 60$ en las ecuaciones (1) y (3) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): De la (1): $x + y + 60 = 240 \implies x + y = 180$ De la (3): $2x - y - 60 = 0 \implies 2x - y = 60$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la $y$: $$(x + y) + (2x - y) = 180 + 60$$ $$3x = 240$$ $$x = \frac{240}{3} = 80$$ Finalmente, calculamos $y$ usando $x + y = 180$: $$80 + y = 180 \implies y = 180 - 80 = 100$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que la suma de los resultados sea igual al total del enunciado ($80 + 100 + 60 = 240$).

Una vez hallados los valores de las incógnitas, especificamos el número de turistas de cada nacionalidad: - Ingleses ($x$): 80 turistas. - Alemanes ($y$): 100 turistas. - Franceses ($z$): 60 turistas. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Hay 80 ingleses, 100 alemanes y 60 franceses.}}$$