Distribución Normal: Altura de estudiantes

**a) ¿Cuántos estudiantes se espera que midan más de 1.75 metros?** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa la altura de los estudiantes en metros. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(1.65, 0.1)$$ Donde la media es $\mu = 1.65$ y la desviación típica es $\sigma = 0.1$. Para calcular cuántos estudiantes miden más de $1.75$ m, primero hallamos la probabilidad $P(X \gt 1.75)$. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos transformarla en una normal estándar $N(0, 1)$ mediante el proceso de tipificación: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Tipificamos el valor $1.75$: $$P(X \gt 1.75) = P\left(Z \gt \frac{1.75 - 1.65}{0.1}\right) = P\left(Z \gt \frac{0.1}{0.1}\right) = P(Z \gt 1)$$ Como las tablas de la normal estándar nos dan la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscando en la tabla $N(0, 1)$, el valor para $z = 1.00$ es $0.8413$: $$P(Z \gt 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ Ahora calculamos el número esperado de estudiantes multiplicando la probabilidad por el total ($N = 650$): $$\text{Estudiantes} = 650 \cdot 0.1587 = 103.155$$ Redondeando al número entero más próximo: ✅ **Resultado:** $$\boxed{103 \text{ estudiantes}}$$

**b) Si el 97.72% de los estudiantes no sobrepasan una determinada altura, ¿cuál es esa altura?** Nos piden encontrar un valor $k$ tal que $P(X \le k) = 0.9772$. Tipificamos la variable: $$P\left(Z \le \frac{k - 1.65}{0.1}\right) = 0.9772$$ Buscamos en el interior de la tabla de la normal estándar el valor $0.9772$ para encontrar su correspondiente valor $z$. Vemos que corresponde exactamente a $z = 2.00$. Por tanto: $$\frac{k - 1.65}{0.1} = 2$$ Despejamos $k$: $$k - 1.65 = 2 \cdot 0.1$$ $$k = 1.65 + 0.2 = 1.85$$ 💡 **Tip:** Cuando nos dan la probabilidad y nos piden el valor de la variable, realizamos el proceso inverso de búsqueda en la tabla. ✅ **Resultado:** $$\boxed{1.85 \text{ metros}}$$

**c) Si se han de elegir los 200 estudiantes cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por defecto), ¿cuál es el intervalo de alturas que se debe fijar?** "Estar más próxima a la media" significa buscar un intervalo simétrico centrado en $\mu = 1.65$. El número de estudiantes es $200$, por lo que la probabilidad (proporción) que debe encerrar ese intervalo es: $$p = \frac{200}{650} \approx 0.3077$$ Buscamos un intervalo $[1.65 - d, 1.65 + d]$ tal que: $$P(1.65 - d \le X \le 1.65 + d) = 0.3077$$ Tipificando: $$P\left(\frac{-d}{0.1} \le Z \le \frac{d}{0.1}\right) = 0.3077$$ Llamamos $z_c = \frac{d}{0.1}$. Por simetría en la normal: $$P(-z_c \le Z \le z_c) = 2 \cdot P(Z \le z_c) - 1 = 0.3077$$

Despejamos $P(Z \le z_c)$: $$2 \cdot P(Z \le z_c) = 1 + 0.3077$$ $$2 \cdot P(Z \le z_c) = 1.3077$$ $$P(Z \le z_c) = \frac{1.3077}{2} = 0.65385$$ Buscamos en la tabla el valor más cercano a $0.65385$. El valor $z = 0.39$ da $0.6517$ y $z = 0.40$ da $0.6554$. Tomaremos de forma aproximada $z_c \approx 0.40$ (o $0.395$ si interpolamos). Calculamos $d$: $$0.40 = \frac{d}{0.1} \implies d = 0.04$$ El intervalo será: $$[1.65 - 0.04, 1.65 + 0.04] = [1.61, 1.69]$$ 💡 **Tip:** En intervalos simétricos centrales $P(-z \le Z \le z) = \alpha$, siempre se cumple que $P(Z \le z) = \frac{1 + \alpha}{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{[1.61, 1.69] \text{ metros}}$$