Intervalo de confianza y tamaño muestral para la media

**a) Construir un intervalo de confianza para la media poblacional de dicho gasto.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$: "gasto por comensal". - Tamaño de la muestra: $n = 81$ - Media muestral: $\bar{x} = 27.50$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 5.30$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$ (lo que implica un $\alpha = 0.02$) Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$. Calculamos la probabilidad acumulada: $$1 - \frac{0.02}{2} = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ el valor cuya probabilidad es $0.99$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99 \implies z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una interpolación. Para el $99\%$, el valor habitual es $2.326$ o $2.33$.

El error máximo admisible $E$ para un intervalo de confianza de la media viene dado por la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2.33 \cdot \frac{5.30}{\sqrt{81}} = 2.33 \cdot \frac{5.30}{9}$$ $$E = 2.33 \cdot 0.5889 = 1.3721$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (27.50 - 1.3721, 27.50 + 1.3721)$$ $$IC = (26.1279, 28.8721)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la estructura: $\text{media} \pm \text{error}$. Cuanto mayor es el tamaño de la muestra, más estrecho (y preciso) es el intervalo. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (26.13, 28.87)}$$

**b) Hallar el tamaño de la muestra para que la estimación de dicho gasto se haga con un error menor de 1 euro.** En este apartado, nos piden encontrar $n$ sabiendo que el error $E \lt 1$. Mantenemos el nivel de confianza del $98\%$, por lo que $z_{\alpha/2} = 2.33$. Utilizamos la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 1$$ $$2.33 \cdot \frac{5.30}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Multiplicamos los términos del numerador: $$\frac{12.349}{\sqrt{n}} \lt 1$$ Pasamos $\sqrt{n}$ multiplicando al otro lado de la desigualdad: $$12.349 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz: $$(12.349)^2 \lt n$$ $$152.497 \lt n$$ Para que el error sea **menor** de $1$ euro, debemos redondear siempre al entero superior, ya que con $152$ el error sería ligeramente superior a $1$. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba (hacia el siguiente número entero) para garantizar que el error sea realmente inferior al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n \ge 153 \text{ personas}}$$