Contratación de servicio telefónico: Test de hipótesis e intervalos de confianza

**a) Con un nivel de significación del 5%, determinar si es aceptable la afirmación inicial.** Primero, extraemos los datos del enunciado: - Proporción poblacional afirmada: $p_0 = 0,23$ - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Casos a favor en la muestra: $x = 98$ - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{98}{500} = 0,196$$ Definimos las hipótesis del contraste. Dado que la sospecha es que la proporción **ha variado**, realizaremos un contraste **bilateral**: - Hipótesis nula ($H_0$): $p = 0,23$ (La afirmación inicial es correcta). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \neq 0,23$ (La proporción ha variado). 💡 **Tip:** Aunque el enunciado diga "como mínimo", la sospecha de que "ha variado" suele interpretarse en los exámenes de acceso a la universidad como un contraste bilateral (distinto de), a menos que se especifique una dirección concreta (mayor o menor).

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en un contraste bilateral, buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \lt Z \lt z_{\alpha/2}) = 0,95$. Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: $$\frac{\alpha}{2} = 0,025 \implies 1 - 0,025 = 0,975$$ $$z_{0,025} = 1,96$$ La **región de aceptación** para el estadístico de contraste $Z$ es el intervalo: $$(-1,96, \, 1,96)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el nivel de confianza del 95%, el valor crítico $z_{\alpha/2} = 1,96$ es uno de los más utilizados en estadística.

Calculamos el valor del estadístico de contraste utilizando la fórmula para proporciones: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0,196 - 0,23}{\sqrt{\dfrac{0,23 \cdot 0,77}{500}}} = \frac{-0,034}{\sqrt{0,0003542}} \approx \frac{-0,034}{0,01882} \approx -1,8066$$ Comparamos el resultado con la región de aceptación: $$-1,96 \lt -1,8066 \lt 1,96$$ Como el valor obtenido cae dentro de la región de aceptación, **no podemos rechazar la hipótesis nula**. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{A un nivel del 5%, la afirmación inicial es aceptable.}}$$

**b) Con los datos muestrales y con un nivel del 95%, determinar el intervalo de confianza para la proporción poblacional de personas que piensan contratar el servicio en cuestión.** Para el intervalo de confianza de la proporción, usamos los datos de la muestra: - $\hat{p} = 0,196$ - $\hat{q} = 1 - 0,196 = 0,804$ - $n = 500$ - $z_{\alpha/2} = 1,96$ (para un nivel de confianza del 95%) El error máximo $E$ se calcula como: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ $$E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,196 \cdot 0,804}{500}} = 1,96 \cdot \sqrt{0,000315168} \approx 1,96 \cdot 0,01775$$ $$E \approx 0,0348$$ 💡 **Tip:** En el intervalo de confianza usamos la proporción de la muestra ($\hat{p}$), mientras que en el test de hipótesis del apartado anterior usamos la proporción teórica ($p_0$) para calcular la desviación típica.

El intervalo de confianza se define como $(\hat{p} - E, \, \hat{p} + E)$: Límite inferior: $$0,196 - 0,0348 = 0,1612$$ Límite superior: $$0,196 + 0,0348 = 0,2308$$ Por tanto, el intervalo de confianza al 95% es: $$IC = (0,1612, \, 0,2308)$$ Esto significa que tenemos una confianza del 95% de que la verdadera proporción de clientes que contratarán el servicio está entre el 16,12% y el 23,08%. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{IC_{0,95} = (0,1612, \, 0,2308)}$$