Estudio de gastos de mantenimiento

**a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero debemos calcular la derivada de la función $G(x)$ en cada uno de sus tramos. Para el primer tramo, si $0 \le x < 15$: $$G'(x) = \left(-\frac{2}{15}x + 3\right)' = -\frac{2}{15}$$ Como $-\frac{2}{15} \approx -0,133$, la derivada es siempre negativa en este intervalo. Para el segundo tramo, si $x > 15$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$G'(x) = \frac{6(x+15) - (6x-60)(1)}{(x+15)^2} = \frac{6x + 90 - 6x + 60}{(x+15)^2} = \frac{150}{(x+15)^2}$$ En este intervalo, el numerador es positivo (150) y el denominador $(x+15)^2$ siempre es positivo, por lo que la derivada es siempre positiva. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$, la función es creciente, y si $f'(x) \lt 0$, es decreciente. $$\boxed{G'(x) = \begin{cases} -\frac{2}{15}, & \text{si } 0 \lt x \lt 15 \\ \frac{150}{(x+15)^2}, & \text{si } x \gt 15 \end{cases}}$$

Analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por el dominio y el punto de salto $x=15$: $$\begin{array}{c|cc} x & (0, 15) & (15, +\infty) \\\hline G'(x) & - & + \\\hline G(x) & \searrow & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo **$(0, 15)$**, $G'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo **$(15, +\infty)$**, $G'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 15) \text{ y Creciente en } (15, +\infty)}$$

**b) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo?** Esta pregunta nos pide analizar el comportamiento de la función cuando el tiempo $x$ tiende a infinito. Calculamos el límite de la segunda rama cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} G(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{6x - 60}{x + 15}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x - 60}{x + 15} = \frac{6}{1} = 6$$ Esto significa que, a medida que el tiempo transcurre, los gastos de mantenimiento tienden a estabilizarse en un valor de **6 mil euros** (existe una asíntota horizontal $y=6$). 💡 **Tip:** Para límites al infinito de funciones racionales, si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los gastos tienden a estabilizarse en 6000 euros.}}$$

**c) ¿Alcanza la función algún máximo o mínimo? Razona la respuesta.** Para que haya un extremo, debemos observar dónde cambia la monotonía y el comportamiento en los extremos del dominio. 1. **Continuidad en $x=15$:** - $G(15) = -\frac{2(15)}{15} + 3 = -2 + 3 = 1$ - $\lim_{x \to 15^-} G(x) = 1$ - $\lim_{x \to 15^+} G(x) = \frac{6(15)-60}{15+15} = \frac{90-60}{30} = \frac{30}{30} = 1$ La función es continua en $x=15$. 2. **Mínimo:** Como la función decrece hasta $x=15$ y crece a partir de $x=15$, en el punto $(15, G(15))$ hay un **mínimo absoluto**. El valor del gasto mínimo es $G(15) = 1$, es decir, **1000 euros**. 3. **Máximo:** En el inicio ($x=0$), el gasto es $G(0) = 3$ (3000 euros). Sin embargo, como hemos visto en el apartado b), la función crece hacia 6 sin llegar a alcanzarlo. Por lo tanto, no existe un máximo absoluto, ya que los valores se acercan a 6 pero nunca lo tocan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Alcanza un mínimo absoluto en } x=15 \text{ meses, con un gasto de 1000 euros. No tiene máximo.}}$$