Optimización de costos en un almacén de electrodomésticos

**a) Formular el correspondiente problema** Primero, definimos las variables de decisión que representan las cantidades desconocidas: $x$: número de neveras a almacenar. $y$: número de lavadoras a almacenar. El objetivo es minimizar los costos totales. Sabiendo que cada nevera cuesta $450€$ y cada lavadora $375€$, la función de costo es: $$C(x, y) = 450x + 375y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué representan $x$ e $y$ (unidades físicas en este caso) y qué se quiere optimizar (maximizar beneficios o minimizar costos).

A partir del enunciado, extraemos las condiciones que limitan nuestro problema: 1. **Capacidad máxima:** El total no puede superar las 180 unidades. $$x + y \le 180$$ 2. **Mínimo de lavadoras:** Deben existir al menos 30 lavadoras. $$y \ge 30$$ 3. **Relación neveras-lavadoras:** El número de neveras ($x$) debe ser al menos igual al de lavadoras ($y$) más 20. $$x \ge y + 20 \implies x - y \ge 20$$ 4. **No negatividad:** Obviamente, el número de electrodomésticos no puede ser negativo. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ ✅ **Formulación final:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Minimizar } & C(x, y) = 450x + 375y \\ \text{Sujeto a: } & x + y \le 180 \\ & y \ge 30 \\ & x - y \ge 20 \\ & x, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) Representar la región factible.** Para representar la región factible, convertimos las desigualdades en rectas y hallamos los puntos de corte con los ejes para dibujarlas: - **Recta $r_1$ ($x + y = 180$):** Pasa por $(0, 180)$ y $(180, 0)$. Como es $\le$, la región es el semiplano que contiene al origen $(0,0)$. - **Recta $r_2$ ($y = 30$):** Es una recta horizontal que pasa por el valor $30$ en el eje $Y$. - **Recta $r_3$ ($x - y = 20$):** Pasa por $(20, 0)$ y si $y=30$, $x=50 \to (50, 30)$. Como es $x - y \ge 20$, probamos con $(100, 0) \to 100 \ge 20$ (verdadero), indicando el semiplano derecho. La intersección de estos semiplanos define un polígono que es nuestra región factible. 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta sombrear, sustituye un punto cualquiera (como el $(0,0)$ si no pasa por él) en la inecuación. Si se cumple, el área sombreada incluye a ese punto.

Para resolver el problema, calculamos los vértices del polígono resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes: - **Vértice A (Intersección $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} y = 30 \\ x - y = 20 \end{cases} \implies x - 30 = 20 \implies x = 50 \implies \mathbf{A(50, 30)}$$ - **Vértice B (Intersección $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} x + y = 180 \\ y = 30 \end{cases} \implies x + 30 = 180 \implies x = 150 \implies \mathbf{B(150, 30)}$$ - **Vértice C (Intersección $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x + y = 180 \\ x - y = 20 \end{cases}$$ Sumamos las ecuaciones: $2x = 200 \implies x = 100$. Sustituimos $x$: $100 + y = 180 \implies y = 80 \implies \mathbf{C(100, 80)}$$

**c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales?** Evaluamos la función de costo $C(x, y) = 450x + 375y$ en cada uno de los vértices hallados: 1. **En A(50, 30):** $$C(50, 30) = 450(50) + 375(30) = 22.500 + 11.250 = 33.750 \text{ euros}$$ 2. **En B(150, 30):** $$C(150, 30) = 450(150) + 375(30) = 67.500 + 11.250 = 78.750 \text{ euros}$$ 3. **En C(100, 80):** $$C(100, 80) = 450(100) + 375(80) = 45.000 + 30.000 = 75.000 \text{ euros}$$ Comparando los resultados, el costo mínimo se produce en el punto $A$. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el valor óptimo (máximo o mínimo) se encuentra siempre en uno de los vértices de la región factible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben almacenar 50 neveras y 30 lavadoras para un costo mínimo de 33.750 €}}$$