Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento y resolución

**a) (1.5 puntos) En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres longitudes: 0.90 m, 1.50 m y 2.40 m, cuyos precios respectivos son 4 euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, con una longitud total de 30 m, que le han costado 126 euros en total. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado este cliente.** Primero definimos las incógnitas de acuerdo con lo que nos pide el problema: - $x$: número de listones de 0.90 m comprados. - $y$: número de listones de 1.50 m comprados. - $z$: número de listones de 2.40 m comprados. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. **Cantidad total de listones:** El cliente ha comprado 19 listones. $$x + y + z = 19$$ 2. **Longitud total:** La suma de las longitudes es 30 m. $$0.90x + 1.50y + 2.40z = 30$$ 3. **Coste total:** El precio total pagado es 126 euros. $$4x + 6y + 10z = 126$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, asegúrate de que cada ecuación represente una "magnitud" distinta (unidades, metros, euros). ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 19 \\ 0.90x + 1.50y + 2.40z = 30 \\ 4x + 6y + 10z = 126 \end{cases}}$$

**b) (1.5 puntos) Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones y resuélvalo, si es posible:** $$\begin{cases} 3x - y - z = 0 \\ 2x - 2y + z = 18 \\ x - 3z = 0 \end{cases}$$ Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 18 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = [3(-2)(-3) + (-1)(1)(1) + (-1)(2)(0)] - [(-1)(-2)(1) + (3)(1)(0) + (-1)(2)(-3)]$$ $$|A| = [18 - 1 + 0] - [2 + 0 + 6] = 17 - 8 = 9$$ Como $|A| = 9 \neq 0$, el rango de $A$ es 3. Al ser un sistema de 3 incógnitas, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también debe ser 3. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $Rango(A) = Rango(A^*) = 3$ (número de incógnitas). - Por tanto, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado.

Al ser un SCD, podemos usar la Regla de Cramer para hallar los valores de $x$, $y$ y $z$. Calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: **Para $x$:** $$|A_x| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 18 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0 - [0 + 0 + 18(-1)(-3)] = -(54) = -54$$ $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-54}{9} = -6$$ **Para $y$:** $$|A_y| = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -1 \\ 2 & 18 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \end{vmatrix} = [3(18)(-3) + 0 + 0] - [(-1)(18)(1) + 0 + 0] = -162 - (-18) = -144$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-144}{9} = -16$$ **Para $z$:** $$|A_z| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 18 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = [0 + (-1)(18)(1) + 0] - [0 + 0 + 0] = -18$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-18}{9} = -2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -6, \quad y = -16, \quad z = -2}$$