Cálculo de derivadas y estudio de asíntotas

**a) (1.5 puntos) Halle las funciones derivadas de las funciones definidas por las siguientes expresiones: $f(x) = (2x^2 - 3)^3$; $g(x) = \frac{\ln(x)}{x}$; $h(x) = x \cdot e^{3x}$.** Para derivar la función $f(x) = (2x^2 - 3)^3$, aplicamos la regla de la cadena para una potencia: $[u(x)^n]' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$. En este caso: - $u(x) = 2x^2 - 3$ - $u'(x) = 4x$ - $n = 3$ Calculamos la derivada: $$f'(x) = 3 \cdot (2x^2 - 3)^{3-1} \cdot (4x)$$ $$f'(x) = 3 \cdot (2x^2 - 3)^2 \cdot 4x$$ $$f'(x) = 12x(2x^2 - 3)^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al derivar una función compuesta $(f \circ g)$, siempre debes multiplicar por la derivada de la función "interna". ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = 12x(2x^2 - 3)^2}$$

Para derivar $g(x) = \frac{\ln(x)}{x}$, utilizamos la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Identificamos los elementos: - $u = \ln(x) \implies u' = \frac{1}{x}$ - $v = x \implies v' = 1$ Aplicamos la fórmula: $$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2}$$ Simplificamos el numerador: $$g'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$$ 💡 **Tip:** El dominio de la función derivada debe ser coherente con el de la función original. En este caso, $x$ debe ser mayor que 0 debido al logaritmo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}}$$

Para derivar $h(x) = x \cdot e^{3x}$, usamos la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Identificamos los elementos: - $u = x \implies u' = 1$ - $v = e^{3x} \implies v' = 3e^{3x}$ (aplicando la regla de la cadena a la exponencial) Aplicamos la fórmula: $$h'(x) = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot (3e^{3x})$$ $$h'(x) = e^{3x} + 3xe^{3x}$$ Podemos simplificar sacando factor común $e^{3x}$: $$h'(x) = e^{3x}(1 + 3x)$$ 💡 **Tip:** Es muy común que en derivadas de funciones con $e^{ax}$ se pueda sacar factor común al final para simplificar la expresión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h'(x) = e^{3x}(1 + 3x)}$$

**b) (1.5 puntos) Determine el dominio y las asíntotas de la función $m(x) = \frac{2x + 3}{x - 4}$.** La función $m(x)$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(m) = \mathbb{R} \setminus \{4\}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(m) = \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Estudiamos el comportamiento de la función cerca de $x = 4$ mediante límites laterales: $$\lim_{x \to 4} \frac{2x + 3}{x - 4} = \frac{11}{0}$$ Calculamos los límites laterales para verificar si tienden a infinito: - Por la izquierda ($x \to 4^-$): $\lim_{x \to 4^-} \frac{2x + 3}{x - 4} = \frac{11}{\text{0 pequeño negativo}} = -\infty$ - Por la derecha ($x \to 4^+$): $\lim_{x \to 4^+} \frac{2x + 3}{x - 4} = \frac{11}{\text{0 pequeño positivo}} = +\infty$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Vertical (AV): } x = 4}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 3}{x - 4}$$ Como es un cociente de polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 3}{x - 4} = \frac{2}{1} = 2$$ Al existir una asíntota horizontal, no puede existir asíntota oblicua. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, siempre habrá una asíntota horizontal en $y = a/b$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Horizontal (AH): } y = 2}$$ $$\boxed{\text{Asíntota Oblicua (AO): No tiene}}$$