Probabilidad de sucesos independientes e inferencia estadística

Para resolver la primera parte del ejercicio, definimos los sucesos y sus probabilidades: - $L$: "Lena da en el blanco". $P(L) = \frac{7}{11}$ - $A$: "Adrián da en el blanco". $P(A) = \frac{9}{13}$ Como los sucesos son independientes, sabemos que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es el producto de sus probabilidades individuales. Calculamos también las probabilidades de los sucesos contrarios (fallar): - $P(\bar{L}) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$ - $P(\bar{A}) = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

**a) (0.6 puntos) "Ambos dan en el blanco".** Como los sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades: $$P(L \cap A) = P(L) \cdot P(A)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(L \cap A) = \frac{7}{11} \cdot \frac{9}{13} = \frac{63}{143}$$ Realizando la división obtenemos el valor decimal aproximado: $$P(L \cap A) \approx 0.4406$$ 💡 **Tip:** Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no influye en el otro. Matemáticamente, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cap A) = \frac{63}{143} \approx 0.4406}$$

**b) (0.6 puntos) "Sólo Lena da en el blanco".** Este suceso significa que Lena acierta Y Adrián falla. Se expresa como $L \cap \bar{A}$. Como los sucesos son independientes, también lo son $L$ y $\bar{A}$: $$P(L \cap \bar{A}) = P(L) \cdot P(\bar{A})$$ Calculamos primero $P(\bar{A})$ si no lo habíamos hecho antes: $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$$ Ahora calculamos el producto: $$P(L \cap \bar{A}) = \frac{7}{11} \cdot \frac{4}{13} = \frac{28}{143} \approx 0.1958$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cap \bar{A}) = \frac{28}{143} \approx 0.1958}$$

**c) (0.8 puntos) "Al menos uno da en el blanco".** Este suceso es la unión de ambos, $L \cup A$. Podemos calcularlo de dos formas: **Método 1: Usando el suceso contrario.** El contrario de "al menos uno acierta" es "ninguno acierta" (ambos fallan). $$P(L \cup A) = 1 - P(\bar{L} \cap \bar{A}) = 1 - [P(\bar{L}) \cdot P(\bar{A})]$$ $$P(L \cup A) = 1 - \left( \frac{4}{11} \cdot \frac{4}{13} \right) = 1 - \frac{16}{143}$$ $$P(L \cup A) = \frac{143 - 16}{143} = \frac{127}{143} \approx 0.8881$$ **Método 2: Usando la fórmula de la unión.** $$P(L \cup A) = P(L) + P(A) - P(L \cap A) = \frac{7}{11} + \frac{9}{13} - \frac{63}{143}$$ Buscamos denominador común (143): $$P(L \cup A) = \frac{91}{143} + \frac{99}{143} - \frac{63}{143} = \frac{127}{143}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cup A) = \frac{127}{143} \approx 0.8881}$$

**d) (0.8 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la población.** Datos de la Parte II: - Muestra ($n$): $100$ - Media muestral ($\bar{x}$): $17.5$ - Desviación típica poblacional ($\sigma$): $0.8$ - Nivel de confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0.95$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.975$$ Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, obtenemos $z_{\alpha/2} = 1.96$. La fórmula del intervalo de confianza es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admitido: $$E = 1.96 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{0.8}{10} = 1.96 \cdot 0.08 = 0.1568$$ El intervalo es: $$I.C. = (17.5 - 0.1568, \, 17.5 + 0.1568) = (17.3432, \, 17.6568)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el 95%, $z_{\alpha/2}$ siempre es 1.96. Es un valor muy frecuente en exámenes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{95\%} = (17.3432, \, 17.6568)}$$

**e) (1.2 puntos) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido al estimar la media, con un nivel de confianza del 99%, sea inferior a 0.2 años?** Datos: - Nivel de confianza: $99\% \implies 1 - \alpha = 0.99$ - Error máximo ($E$): $\lt 0.2$ - Desviación típica ($\sigma$): $0.8$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 99%: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$$ En la tabla normal, para una probabilidad de $0.995$, el valor es aproximadamente $z_{\alpha/2} = 2.575$. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Despejamos $n$: $$\sqrt{n} \gt \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n \gt \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos: $$n \gt \left( \frac{2.575 \cdot 0.8}{0.2} \right)^2$$ $$n \gt (2.575 \cdot 4)^2$$ $$n \gt (10.3)^2 = 106.09$$ Como el número de individuos debe ser entero, tomamos el siguiente valor superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 107 \text{ individuos}}$$