Optimización en Programación Lineal

**a) (2.5 puntos) Resuelva el problema.** En primer lugar, transformamos las desigualdades en igualdades para obtener las rectas que limitan la región factible: 1. $r_1: 2x + y = 6$ 2. $r_2: 2x + 5y = 30$ 3. $r_3: 2x - y = 6$ Buscamos dos puntos para cada recta para poder representarlas: - Para $r_1$: Si $x=0 \implies y=6$; si $y=0 \implies x=3$. Puntos: $(0,6)$ y $(3,0)$. - Para $r_2$: Si $x=0 \implies y=6$; si $y=0 \implies x=15$. Puntos: $(0,6)$ y $(15,0)$. - Para $r_3$: Si $x=0 \implies y=-6$; si $y=0 \implies x=3$. Puntos: $(0,-6)$ y $(3,0)$. 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta está la solución, sustituimos un punto (por ejemplo el $(0,0)$) en la inecuación. Si se cumple, el semiplano es el que contiene al origen; si no, es el contrario.

La región factible es el recinto cerrado delimitado por estas tres rectas. Los vértices son los puntos de corte entre ellas: - **Vértice A ($r_1 \cap r_2$):** $$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ 2x + 5y = 30 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(2x + 5y) - (2x + y) = 30 - 6 \implies 4y = 24 \implies y = 6$. Sustituyendo $y=6$: $2x + 6 = 6 \implies x = 0$. $\boxed{A(0, 6)}$ - **Vértice B ($r_2 \cap r_3$):** $$\begin{cases} 2x + 5y = 30 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(2x + 5y) - (2x - y) = 30 - 6 \implies 6y = 24 \implies y = 4$. Sustituyendo $y=4$: $2x - 4 = 6 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. $\boxed{B(5, 4)}$ - **Vértice C ($r_1 \cap r_3$):** $$\begin{cases} 2x + y = 6 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$$ Sumando las ecuaciones: $4x = 12 \implies x = 3$. Sustituyendo $x=3$: $2(3) + y = 6 \implies 6 + y = 6 \implies y = 0$. $\boxed{C(3, 0)}$

Evaluamos la función $F(x,y) = 6x + 3y - 2$ en cada uno de los vértices hallados: - $F(A) = F(0, 6) = 6(0) + 3(6) - 2 = 18 - 2 = 16$ - $F(B) = F(5, 4) = 6(5) + 3(4) - 2 = 30 + 12 - 2 = 40$ - $F(C) = F(3, 0) = 6(3) + 3(0) - 2 = 18 - 2 = 16$ Observamos que el valor mínimo es **16** y se alcanza en dos vértices: $A(0,6)$ y $C(3,0)$. 💡 **Tip:** Cuando la función objetivo alcanza el mismo valor óptimo en dos vértices contiguos, significa que se alcanza también en todos los puntos del segmento que los une. Esto ocurre porque la función objetivo es paralela a uno de los lados del recinto. En este caso, la función $F(x,y)$ es paralela a la restricción $r_1: 2x + y = 6$, ya que $6x + 3y = 3(2x + y)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El mínimo es 16 y se alcanza en todos los puntos del segmento que une } (0, 6) \text{ y } (3, 0)}$$

**b) (0.5 puntos) Ana responde que se alcanza en $(1, 4)$ y Benito que lo hace en $(3, 0)$. ¿Es cierto que el mínimo se alcanza en $(1, 4)$? ¿Es cierto que se alcanza en $(3, 0)$?** Primero, verificamos si el punto de Ana $(1, 4)$ pertenece a la región factible y qué valor toma la función: - Restricción 1: $2(1) + 4 = 6 \ge 6$ (Cierto, está sobre la frontera) - Restricción 2: $2(1) + 5(4) = 22 \le 30$ (Cierto) - Restricción 3: $2(1) - 4 = -2 \le 6$ (Cierto) - Valor: $F(1, 4) = 6(1) + 3(4) - 2 = 6 + 12 - 2 = 16$. Como el punto está en la región y el valor es 16 (el mínimo), **la respuesta de Ana es correcta**. Ahora verificamos el punto de Benito $(3, 0)$: - Ya hemos calculado que $(3, 0)$ es el vértice $C$, pertenece a la región y $F(3, 0) = 16$. Por tanto, **la respuesta de Benito también es correcta**. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Ambos tienen razón, ya que el mínimo se alcanza en todo el segmento } AC, \text{ al cual pertenecen ambos puntos.}}$$