Continuidad, derivabilidad y cálculo de derivadas

**a) (1.5 puntos) Sea la función $f(x) = \begin{cases} 1 - 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$. Estudie su continuidad y su derivabilidad.** Primero, analizamos la continuidad en los intervalos abiertos donde la función está definida por cada rama: 1. **En el intervalo $(-\infty, 0)$:** La función es $f(x) = 1 - 2x$, que es un polinomio de primer grado. Los polinomios son continuos en todo $\mathbb{R}$, por lo que $f(x)$ es **continua en $(-\infty, 0)$**. 2. **En el intervalo $(0, +\infty)$:** La función es $f(x) = \frac{1}{x+1}$, una función racional. El denominador se anula en $x = -1$, pero como este valor no pertenece al intervalo $(0, +\infty)$, la función es **continua en $(0, +\infty)$**. Ahora, estudiamos el **salto entre ramas en $x = 0$**: - Valor de la función: $f(0) = 1 - 2(0) = 1$. - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1 - 2x) = 1$. - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función coincide con sus límites laterales. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \lt 0 \\ \frac{-1}{(x+1)^2} & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Analizamos la derivabilidad en el punto de unión $x = 0$ comparando las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (-2) = -2$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(0+1)^2} = -1$. Como las derivadas laterales son distintas ($f'(0^-) \neq f'(0^+)$), la función **no es derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él y, además, sus derivadas laterales deben ser iguales. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \text{ y derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) (1.5 puntos) Se consideran las funciones: $g(x) = (2x + 1)^3$, $h(x) = \frac{x - 1}{2^x}$. Halle sus funciones derivadas.** Para $g(x) = (2x + 1)^3$, aplicamos la **regla de la cadena** para una función de tipo potencia $[u(x)]^n$: $$g'(x) = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$$ Donde $u(x) = 2x + 1$ y $n = 3$: 1. Derivada de la potencia: $3(2x + 1)^{3-1} = 3(2x + 1)^2$. 2. Derivada de la función interna: $(2x + 1)' = 2$. Multiplicamos ambos resultados: $$g'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2$$ Opcionalmente, podemos desarrollar el cuadrado: $$g'(x) = 6(4x^2 + 4x + 1) = 24x^2 + 24x + 6.$$ ✅ **Resultado (g'(x)):** $$\boxed{g'(x) = 6(2x + 1)^2}$$

Para $h(x) = \frac{x - 1}{2^x}$, aplicamos la **regla del cociente**: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Identificamos las funciones: - $u = x - 1 \implies u' = 1$ - $v = 2^x \implies v' = 2^x \cdot \ln(2)$ Sustituimos en la fórmula: $$h'(x) = \frac{1 \cdot 2^x - (x - 1) \cdot 2^x \ln(2)}{(2^x)^2}$$ Simplificamos factorizando $2^x$ en el numerador: $$h'(x) = \frac{2^x [1 - (x - 1) \ln(2)]}{(2^x)^2}$$ $$h'(x) = \frac{1 - (x - 1) \ln(2)}{2^x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función exponencial $a^x$ es $a^x \cdot \ln(a)$. ✅ **Resultado (h'(x)):** $$\boxed{h'(x) = \frac{1 - (x - 1) \ln(2)}{2^x}}$$